double arrow

Лекция 6. Примеры моделирования объектов с сосредоточенными параметрами

Содержание лекции:

- примеры моделирования объектов с сосредоточенными параметрами.

Цель лекции:

- изучить на примерах основные методы аналитического моделирования объектов с сосредоточенными параметрами.

Пример 6.1. В продолжение примера 5.1 запишем уравнения для системы в виде каскада из двух резервуаров (см. рисунок 6.1).

   
 
Рисунок 6.1 - Каскад резервуаров


Здесь М1 и М2 – объемы, Q1, Q2, Q3 - потоки жидкости, F1 и F2 - площади поперечного сечения резервуаров, f1, f2 - площади выходных отверстий, μ1, μ2 - коэффициенты расхода, H1, H2 - уровни, ρ - плотность вещества.

В этом случае вместе с балансовыми соотношениями

, (6.1)

(6.2)

имеют место следующие зависимости

(6.3)

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Эти уравнения являются уравнениями каскада резервуаров. Однако часто надо найти зависимости между конкретными переменными.

Пусть надо найти связь между выходом Q3 и входом Q1. Тогда надо избавиться от переменных Q2, M1, M2, H1, H2 и оставить в уравнениях только Q1 и Q3.

Из (6.3) и (6.6) получим

(6.7)

а из (6.4), (6.5) и (6.7)

. (6.8)

Принимая во внимание (6.7), из (6.2) получим

или

. (6.9)

Подставив в (6.1) М1 и Q2, из (6.8), (6.9) получим:

.

Это нелинейное уравнение второго порядка, Q1 и Q3 - функции времени, остальные – константы.

Порядок уравнения определяется числом емкостей в каскаде.

Если помимо ускорения свободного падения на поток в замкнутом резервуаре действует внешнее давление Р, тогда вместовыражения в качестве начального соотношения используется здесь ρ - плотность жидкости.

Пример 6.2. Динамика материальных потоков. Пусть дана система из двух емкостей для сыпучих материалов. Поток из первой емкости конвейером или насосом переносится во вторую емкость. Состояние системы характеризуется следующими переменными: входной поток вещества в первую емкость Q1, выходной поток первой емкости , входной поток вещества во вторую емкость , выходной поток системы Q3 и количество вещества в емкостях M1 и М2 (см. рисунок 6.2).

Составим уравнения этой системы. Для каждой емкости можем написать уравнения материального баланса:

Чтобы связать эти два уравнения, нужно рассмотреть зависимость между .

 
 


Рисунок 6.2 - Определение уравнений динамики системы из двух емкостей

Если перенос вещества выполняется с постоянной производительностью, тогда выходной поток первой емкости с запаздыванием полностью поступает во вторую емкость. Время запаздывания τ зависит от расстояния между емкостями и от скорости движения потока по ленте конвейера или по трубе. Значение в момент τ равно значению в момент t - τ, то есть:

.

Тогда уравнения системы преобразуются следующим образом:

.

Это общая форма записи модели рассматриваемого объекта. Если необходимо провести эксперименты с моделью или выполнить конкретные расчеты, естественно, необходимо задать законы изменения входного и выходного потоков. Например, пусть требуется получить в числовом виде уравнения системы бункер-конвейер. Освобождение бункера от вещества выполняется конвейером длинойl=50 м, скорость ленты θ=1 м/с=3600м/час, входной поток Q1 = 100т/час=const.

Уравнение бункера: (М – масса вещества в бункере). Уравнение конвейера: Q3 (t)= Q2 (t – τ) = Q2 (t – 50/3600) или Q2 (t)= Q3(t + 50/3600). Избавившись от промежуточной переменной Q2, получим искомое уравнение:

.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: