Вычисление определенных интегралов. При вычислении определенных интегралов широко используется метод замены переменной и метод интегрирования по частям

При вычислении определенных интегралов широко используется метод замены переменной и метод интегрирования по частям.

Теорема 3. Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке и функция f(x) непрерывна в каждой точке х вида , где .

Тогда справедливо следующее равенство

= . (11)

Формула (11) носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному. При этом нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования и по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений и . Часто вместо подстановки применяют подстановку t= (x). В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается: .

Пример. Вычислить .

Положим . Тогда и . Если х =0, то , и если х =1, то . Следовательно,

= = - =

= - = - .

Рассмотрим теперь, как выполняется интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема 4. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке[ a,b ]. Тогда

, (12)

где .

Формула (12) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Пример. Вычислить .

Пусть u=ln x, dv=(x+1)dx.

Тогда .

По формуле (12) имеем