2015-02-04
620
При вычислении определенных интегралов широко используется метод замены переменной и метод интегрирования по частям.
Теорема 3. Пусть функция 
имеет непрерывную производную на отрезке 
и функция f(x) непрерывна в каждой точке х вида 
, где 
.
Тогда справедливо следующее равенство
= 
. (11)
Формула (11) носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.
Использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному. При этом нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования 
и 
по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений 
и 
. Часто вместо подстановки применяют подстановку t= 
(x). В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается: 
.
Пример. Вычислить 
.
Положим 
. Тогда 
и 
. Если х =0, то 
, и если х =1, то 
. Следовательно,
= 
= - 
=
= - 
= - 
.
Рассмотрим теперь, как выполняется интегрирование по частям в определенном интеграле.
Теорема 4. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке[ a,b ]. Тогда
, (12)
где 
.
Формула (12) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Пример. Вычислить 
.
Пусть u=ln x, dv=(x+1)dx.
Тогда 
.
По формуле (12) имеем
