2015-02-04
575
Пусть функция y=f(x) определена и интегрируема на произвольном отрезке [ a, t ], т.е. функция 
определена для произвольного 
Несобственным интегралом 
от функции f(x) на полуинтервале 
называется предел функции Ф(t) при t, стремящемся к 
, т.е.
(13)
Если предел, стоящий в правой части равенства (13), существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся.
Пример. Вычислить 
.
По определению 
. Для нахождения интеграла, стоящего под знаком предела, воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:
.
Тогда
= 
,
т.е. искомый несобственный интеграл сходится к 1.
По аналогии с (13) определяется несобственный интеграл на полуинтервале 
:
(14)
Определение сходимости интеграла 
аналогично приведенному выше.
Введем понятие несобственного интеграла на интервале 
. Пусть для некоторого числа а несобственные интегралы 
и сходятся. Тогда положим, что
= + 
, (15)
при этом интеграл называется сходящимся. Если хотя бы один из интегралов, входящих в правую часть равенства (15), расходится, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Пример. Вычислить 
.
Исследуем на сходимость интегралы 
и 
.
,
т.е. первый из интегралов сходится к 1. Но
,
т.е. расходится и, следовательно, расходится несобственный интеграл .
В курсе теории вероятностей встречается несобственный интеграл 
, называемый интегралом Эйлера-Пуассона.
Доказано, что = 
.
