Параметрический резонанс

Явление параметрического резонанса возникает в колебательных системах, у которых внешнее воздействие сводится к изменению со временем их параметров, например, частоты колебаний.

Для математического описания параметрического резонанса мы должны уравнение гармонических колебаний (21.6) заменить на уравнение

,

(21.70)

Рис. 21.22

в котором учтено, что в результате внешних воздействий частота собственных колебаний меняется во времени: w = w(t).

Выясним условия возникновения параметрического резонанса в важном случае, когда функция w²(t) мало отличается от некоторой постоянной величины и является простой периодической функцией (рис. 21.22):

,

где h<<1, W — частота внешних воздействий.

Таким образом, уравнение движения (21.70) приобретает вид

.

Рис. 21.23

В простейшем случае, когда частота внешнего воздействия в 2 раза больше частоты ее собственных колебаний, т.е. W» w₀, приближенное решение этого уравнения можно представить в виде

.

При этом может реализоваться случай, когда k>1. Тогда амплитуда A(t)=A0tk с течением времени возрастает (рис. 21.23). Такое явление называется параметрическим резонансом.

Рассмотрим простейший пример механической колебательной системы — маятник, длина которого периодически изменяется. Пусть в момент времени, когда маятник проходит через положение равновесия, длина нити уменьшается на l (рис. 21.24, а), а в момент, когда маятник максимально отклонен от положения равновесия, его длина снова восстанавливается до постоянного значения (рис. 21.24, б).

Рис. 21.24

В момент укорачивания нити внешним силам необходимо произвести работу против сил тяжести и центробежной силы, а в момент удлинения нити выполняется противоположная по знаку работа только силами тяжести (работа центробежной силы равна нулю, так как v=0). Суммарная работа внешних сил за один полупериод положительна и идет на увеличение энергии колебаний маятника. В случае малого трения в системе амплитуда колебаний постепенно возрастает, достигая некоторого максимального значения.

Аналогично, изменяя с помощью внешних сил параметры колебательного контура (индуктивность или емкость), можно достичь параметрического резонанса в колебательном контуре.