2015-02-04
2825
Гармонические колебания совершаются под воздействием квазиупругой силы F=-kx. В общем случае зависимость силы от смещения x может быть нелинейной и в разложении по степеням x следует учитывать квадратичные и более высокие степени x.
Ограничимся случаем, когда 
где S — коэффициент ангармоничности.
Тогда уравнение движения принимает вид
или
Рис. 21.28
|
.
 ,
| (21.73) |
где, как и ранее (см. § 21.3), 
.
Из теории дифференциальных уравнений следует, что решение полученного нелинейного дифференциального уравнения можно представить в виде
 ,
| (21.74) |
где A, a и x0 — постоянные.
Рис. 21.29
|
Для гармонического осциллятора, колеблющегося по закону x=A cos wt среднее значение смещения 
, поскольку 
. Из (21.74) видно, что среднее значение смещения <x> для ангармонического осциллятора 
, т.е. отлично от нуля. Опуская громоздкие математические преобразования, можно показать, что 
, т.е. 
. Это связано с тем, что для ангармонического осциллятора зависимость возвращающей силы от смещения (рис. 21.29) такова, что в области положительных значений x значения силы меньше, чем в области отрицательных.
|
|
|
Рассмотрим некоторые примеры проявления ангармоничности.
Большинство физических характеристик кристаллических твердых тел можно найти, исходя из предположения, что атомы кристаллической решетки совершают гармонические колебания около положений равновесия. Однако эта модель не в состоянии объяснить такое явление, как тепловое расширение кристалла, поскольку при возрастании температуры и соответственно энергии атомов их положения равновесия (определяемые средним значением смещения ) остаются неизменными. В действительности же колебания атомов ангармоничны, что объясняется несимметричной формой кривой потенциальной энергии межатомного взаимодействия (см. рис. 10.1). Средняя энергия колебательного движения атома, с одной стороны пропорциональна квадрату амплитуды (формула (21.13)), а с другой – значению абсолютной температуры (формула (18.12)), поэтому A2~kT. Поскольку 
~A2, то ~T. Таким образом, средние значения координат атомов увеличиваются пропорционально температуре, т.е. происходит тепловое расширение кристалла.
