Решение. Предприятие выпускает простые и привилегированные акции, на приобретение пакета которых выделено 16 у.д.е

Задача 1

Предприятие выпускает простые и привилегированные акции, на приобретение пакета которых выделено 16 у.д.е. Простые акции продаются по цене 2 у.д.е. за штуку и в приобретаемом пакете их должно быть не менее двух штук. По условиям продажи в пакете может быть не более 10 привилегированных акций и их цена – 1 у.д.е. за штуку.

Сколько тех и других акций следует приобрести, чтобы максимизировать годовой доход пакета, если простая акция приносит в год 1 у.д.е., а привилегированная – 2 у.д.е. дохода.

Решить ЗЛП графическим методом.

Решение

Составим математическую модель задачи

F(x)= 1*х₁+2*х₂

х₁+0*х₂≥2

0*х₁ +х₂≤ 10

х₁, х₂≥0

Сначала строится многоугольная область допустимых решений (ОДР), соответствующая ограничениям. Далее строится вектор-градиент линейной формы

Этап 1. Определим множество решений первого неравенства. Оно состоит из решения уравнения и строгого неравенства. Решением уравнения служат точки прямой (х₁+0*х₂-2=0.)

х₁=2 –прямая х₁=2, параллельная оси ординат и проходящая через точку (2; 0); при (0; 0) неравенство выполняется, область решений -нижняя полуплоскость;

Определим множество решений второго неравенства. Оно состоит из решения уравнения и строгого неравенства. Решением уравнения служат точки прямой (0*х₁+х₂-10=0.)

х₂=10 –прямая х₂=10, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0; 10); при (0; 0) неравенство выполняется, область решений -нижняя полуплоскость;

Определим координаты точек пересечения первой и второй прямых

х₁+0*х₂=2

0*х₁+х₂=10

х₁=2

х₂=10

Вычислим значения целевой функции в точках пересечения.

F(2; 10)= 1*2+2*10=22

Вычислим значения целевой функции в граничных точках.

F(2; 0)= 1*2+2*0=2

F(0; 10)= 1*0+2*10= 20

Если ОДР не ограничена, то ЗЛП имеет только один оптимум.

Этап 2. Построим вектор z. Его начальная координата (0; 0), конечная - (1; 2). Линия уровня – линия, перпендикулярная вектору z и проходящая через начало координат.

Этап 3. При максимизации целевой функции необходимо двигаться в направлении вектора – градиента, а при минимизации – в противоположном направлении, причем в обоих случаях – параллельно линии уровня.

Согласно графика, Max F(x1; x2)= F(2; 10)= 22

2*2+1*10=14 у. е. – стоимость пакета акций, на приобретение выделено 16 у. д. е.