Решение. Сформулируем ЭММ этой задачи

Сформулируем ЭММ этой задачи:

Пусть - объемы перевозок от - того поставщика - тому потребителю.

Целевая функция:

min f(x)=1х₁₁+3х₁₂+4х₁₃+1х₁₄+3х₁₅+5х₂₁+4х₂₂+5х₂₃+7х₂₄+5х₂₅+4х₃₁+9х₃₂+5х₃₃+10х₃₄+9х₃₅=

=7х₄₁+7х₄₂+5х₄₃+8х₄₄+13х₄₅+12х₅₁+10х₅₂+8х₅₃+11х₅₄+6х₅₅

Функциональные ограничения

по поставщикам:

х₁₁+х₁₂+х₁₃+х₁₄+х₁₅=100

х₂₁+х₂₂+х₂₃+х₂₄+х₂₅=200

х₃₁+х₃₂+х₃₃+х₃₄+х₃₅ =400

х₄₁+х₄₂+х₄₃+х₄₄+х₄₅=200

х₅₁+х₅₂+х₅₃+х₅₄+х₅₅ =100

по потребителям:

х₁₁+х₂₁+х₃₁+х₄₁+х₅₁=100

х₁₂+х₂₂+х₃₂+х₄₂+х₅₂=200

х₁₃+х₂₃+х₃₃+х₄₃+х₅₃=200

х₁₄+х₂₄+х₃₄+х₄₄+х₅₄=300

х₁₅+х₂₅+х₃₅ +х₄₅+х₅₅=400

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

∑a = 100 + 200 + 400 + 200 + 100 = 1000

∑b = 100 + 200 + 200 + 300 + 400 = 1200

Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения меньше запасов груза на базах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) потребность, равной 200 (1200—1000).

Этап I. Поиск первого опорного плана.

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел a_i, или b_j.

Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.

Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

						Запасы
		3[100]
		4[100]	5[100]
	4[100]		5[100]		9[200]
				8[200]
					6[100]
				0[100]	0[100]
Потребности

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 10, а должно быть m + n - 1 = 10. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 3*100 + 4*100 + 5*100 + 4*100 + 5*100 + 9*200 + 8*200 + 6*100 + 0*100 + 0*100 = 6100

Этап II. Улучшение опорного плана.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_j. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_j = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₂ = 3; 0 + v₂ = 3; v₂ = 3

u₂ + v₂ = 4; 3 + u₂ = 4; u₂ = 1

u₂ + v₃ = 5; 1 + v₃ = 5; v₃ = 4

u₃ + v₃ = 5; 4 + u₃ = 5; u₃ = 1

u₃ + v₁ = 4; 1 + v₁ = 4; v₁ = 3

u₃ + v₅ = 9; 1 + v₅ = 9; v₅ = 8

u₅ + v₅ = 6; 8 + u₅ = 6; u₅ = -2

u₆ + v₅ = 0; 8 + u₆ = 0; u₆ = -8

u₆ + v₄ = 0; -8 + v₄ = 0; v₄ = 8

u₄ + v₄ = 8; 8 + u₄ = 8; u₄ = 0

	v1=3	v2=3	v3=4	v4=8	v5=8
u1=0		3[100]
u2=1		4[100]	5[100]
u3=1	4[100]		5[100]		9[200]
u4=0				8[200]
u5=-2					6[100]
u6=-8				0[100]	0[100]

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_j > c_ij

(1;1): 0 + 3 > 1; ∆₁₁ = 0 + 3 - 1 = 2

(1;4): 0 + 8 > 1; ∆₁₄ = 0 + 8 - 1 = 7

(1;5): 0 + 8 > 3; ∆₁₅ = 0 + 8 - 3 = 5

(2;4): 1 + 8 > 7; ∆₂₄ = 1 + 8 - 7 = 2

(2;5): 1 + 8 > 5; ∆₂₅ = 1 + 8 - 5 = 4

max(2,7,5,2,4) = 7

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;4): 1

Для этого в перспективную клетку (1;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

						Запасы
		3[100][-]		1[+]
		4[100][+]	5[100][-]
	4[100]		5[100][+]		9[200][-]
				8[200]
					6[100]
				0[100][-]	0[100][+]
Потребности

Цикл приведен в таблице (1,4 → 1,2 → 2,2 → 2,3 → 3,3 → 3,5 → 6,5 → 6,4).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (6, 4) = 100. Прибавляем 100 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 100 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

						Запасы
		3[0]		1[100]
		4[200]	5[0]
	4[100]		5[200]		9[100]
				8[200]
					6[100]
					0[200]
Потребности

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_j. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_j = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₂ = 3; 0 + v₂ = 3; v₂ = 3

u₂ + v₂ = 4; 3 + u₂ = 4; u₂ = 1

u₂ + v₃ = 5; 1 + v₃ = 5; v₃ = 4

u₃ + v₃ = 5; 4 + u₃ = 5; u₃ = 1

u₃ + v₁ = 4; 1 + v₁ = 4; v₁ = 3

u₃ + v₅ = 9; 1 + v₅ = 9; v₅ = 8

u₅ + v₅ = 6; 8 + u₅ = 6; u₅ = -2

u₆ + v₅ = 0; 8 + u₆ = 0; u₆ = -8

u₁ + v₄ = 1; 0 + v₄ = 1; v₄ = 1

u₄ + v₄ = 8; 1 + u₄ = 8; u₄ = 7

	v1=3	v2=3	v3=4	v4=1	v5=8
u1=0		3[0]		1[100]
u2=1		4[200]	5[0]
u3=1	4[100]		5[200]		9[100]
u4=7				8[200]
u5=-2					6[100]
u6=-8					0[200]

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_j > c_ij

(1;1): 0 + 3 > 1; ∆₁₁ = 0 + 3 - 1 = 2

(1;5): 0 + 8 > 3; ∆₁₅ = 0 + 8 - 3 = 5

(2;5): 1 + 8 > 5; ∆₂₅ = 1 + 8 - 5 = 4

(4;1): 7 + 3 > 7; ∆₄₁ = 7 + 3 - 7 = 3

(4;2): 7 + 3 > 7; ∆₄₂ = 7 + 3 - 7 = 3

(4;3): 7 + 4 > 5; ∆₄₃ = 7 + 4 - 5 = 6

(4;5): 7 + 8 > 13; ∆₄₅ = 7 + 8 - 13 = 2

max(2,5,4,3,3,6,2) = 6

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (4;3): 5

Для этого в перспективную клетку (4;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

						Запасы
		3[0][-]		1[100][+]
		4[200][+]	5[0][-]
	4[100]		5[200]		9[100]
			5[+]	8[200][-]
					6[100]
					0[200]
Потребности

Цикл приведен в таблице (4,3 → 4,4 → 1,4 → 1,2 → 2,2 → 2,3).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 2) = 0. Прибавляем 0 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 0 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

						Запасы
				1[100]
		4[200]	5[0]
	4[100]		5[200]		9[100]
			5[0]	8[200]
					6[100]
					0[200]
Потребности

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_j. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_j = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₄ = 1; 0 + v₄ = 1; v₄ = 1

u₄ + v₄ = 8; 1 + u₄ = 8; u₄ = 7

u₄ + v₃ = 5; 7 + v₃ = 5; v₃ = -2

u₂ + v₃ = 5; -2 + u₂ = 5; u₂ = 7

u₂ + v₂ = 4; 7 + v₂ = 4; v₂ = -3

u₃ + v₃ = 5; -2 + u₃ = 5; u₃ = 7

u₃ + v₁ = 4; 7 + v₁ = 4; v₁ = -3

u₃ + v₅ = 9; 7 + v₅ = 9; v₅ = 2

u₅ + v₅ = 6; 2 + u₅ = 6; u₅ = 4

u₆ + v₅ = 0; 2 + u₆ = 0; u₆ = -2

	v1=-3	v2=-3	v3=-2	v4=1	v5=2
u1=0				1[100]
u2=7		4[200]	5[0]
u3=7	4[100]		5[200]		9[100]
u4=7			5[0]	8[200]
u5=4					6[100]
u6=-2					0[200]

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_j > c_ij

(2;4): 7 + 1 > 7; ∆₂₄ = 7 + 1 - 7 = 1

(2;5): 7 + 2 > 5; ∆₂₅ = 7 + 2 - 5 = 4

max(1,4) = 4

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;5): 5

Для этого в перспективную клетку (2;5) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

						Запасы
				1[100]
		4[200]	5[0][-]		5[+]
	4[100]		5[200][+]		9[100][-]
			5[0]	8[200]
					6[100]
					0[200]
Потребности

Цикл приведен в таблице (2,5 → 2,3 → 3,3 → 3,5).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 3) = 0. Прибавляем 0 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 0 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

						Запасы
				1[100]
		4[200]			5[0]
	4[100]		5[200]		9[100]
			5[0]	8[200]
					6[100]
					0[200]
Потребности

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_j. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_j = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₄ = 1; 0 + v₄ = 1; v₄ = 1

u₄ + v₄ = 8; 1 + u₄ = 8; u₄ = 7

u₄ + v₃ = 5; 7 + v₃ = 5; v₃ = -2

u₃ + v₃ = 5; -2 + u₃ = 5; u₃ = 7

u₃ + v₁ = 4; 7 + v₁ = 4; v₁ = -3

u₃ + v₅ = 9; 7 + v₅ = 9; v₅ = 2

u₂ + v₅ = 5; 2 + u₂ = 5; u₂ = 3

u₂ + v₂ = 4; 3 + v₂ = 4; v₂ = 1

u₅ + v₅ = 6; 2 + u₅ = 6; u₅ = 4

u₆ + v₅ = 0; 2 + u₆ = 0; u₆ = -2

	v1=-3	v2=1	v3=-2	v4=1	v5=2
u1=0				1[100]
u2=3		4[200]			5[0]
u3=7	4[100]		5[200]		9[100]
u4=7			5[0]	8[200]
u5=4					6[100]
u6=-2					0[200]

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_j > c_ij

(4;2): 7 + 1 > 7; ∆₄₂ = 7 + 1 - 7 = 1

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (4;2): 7

Для этого в перспективную клетку (4;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

						Запасы
				1[100]
		4[200][-]			5[0][+]
	4[100]		5[200][+]		9[100][-]
		7[+]	5[0][-]	8[200]
					6[100]
					0[200]
Потребности

Цикл приведен в таблице (4,2 → 4,3 → 3,3 → 3,5 → 2,5 → 2,2).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (4, 3) = 0. Прибавляем 0 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 0 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

						Запасы
				1[100]
		4[200]			5[0]
	4[100]		5[200]		9[100]
		7[0]		8[200]
					6[100]
					0[200]
Потребности

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_j. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_j = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₄ = 1; 0 + v₄ = 1; v₄ = 1

u₄ + v₄ = 8; 1 + u₄ = 8; u₄ = 7

u₄ + v₂ = 7; 7 + v₂ = 7; v₂ = 0

u₂ + v₂ = 4; 0 + u₂ = 4; u₂ = 4

u₂ + v₅ = 5; 4 + v₅ = 5; v₅ = 1

u₃ + v₅ = 9; 1 + u₃ = 9; u₃ = 8

u₃ + v₁ = 4; 8 + v₁ = 4; v₁ = -4

u₃ + v₃ = 5; 8 + v₃ = 5; v₃ = -3

u₅ + v₅ = 6; 1 + u₅ = 6; u₅ = 5

u₆ + v₅ = 0; 1 + u₆ = 0; u₆ = -1

	v1=-4	v2=0	v3=-3	v4=1	v5=1
u1=0				1[100]
u2=4		4[200]			5[0]
u3=8	4[100]		5[200]		9[100]
u4=7		7[0]		8[200]
u5=5					6[100]
u6=-1					0[200]

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию u_i + v_j ≤ c_ij.

Минимальные затраты составят: F(x) = 1*100 + 4*200 + 4*100 + 5*200 + 9*100 + 8*200 + 6*100 + 0*200 = 5400