Решение. Приведем систему ограничений к каноническому виду, для этого необходимо перейти от неравенств к равенствам

Приведем систему ограничений к каноническому виду, для этого необходимо перейти от неравенств к равенствам, с добавлением дополнительных переменных.

Так как первое равенства имеет знак "=" необходимо внести в него дополнительную переменную x5 соответственно. Так как второе равенства имеет знак "=" необходимо внести в него дополнительную переменную x6 соответственно

В результате получаем эквивалентную задачу:

Пусть х₁; х₂; х₃; х₄- объемы производства продукции каждого вида.

Целевая функция: max Z(x)=1*х₁-2*х₂-1*х₃+3*х₄

Функциональные ограничения:

-4*х₁+2*х₂-1*х₃+1*х₄+х₅=2

-6* х₁ + 6*х₂-1*х₃+2*х₄+х₆=10

Прямые ограничения: х₁,х₂, х₃, х₄≥0

3) решим задачу симплексным методом,

Для этого используем симплекс-метод.

Симплекс-таблица 1

	Переменные	Свободный член	Оценочное отношение
Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6
Х5	-4		-1			2/1=2
Х6	-6		-1			10/2=5
F	-1			-3		-

Выберем разрешающий столбец по наибольшему по модулю значению. Разрешающую строку – по наименьшему оценочному отношению. Пересечение разрешающего столбца и разрешающей строки дает разрешающий элемент.

Перейдем к симплекс-таблице 2, заменив базисную переменную х6 на х4.

Пересчет целевой строки по правилу прямоугольника

-1 – [ (-6)*(-3) ]/2= -1 – 3*3 = -10; 2 – [6*(-3) ]/2=2 + 3*3= 11;

1 – [ (-1)*(-3) ]/2=1 – [ 1*3 ]/2= -1/2; 0 – [ 1*(-3) ]/2=0 + 3/2= 3/2;

Пересчет элементов первой строки по правилу прямоугольника

-4 – [ (-6)*1 ]/2= -4 +6/2= -1; 2 – [ 6*1 ]/2= 2-3=-1;

-1– [ 1*(-1) ]/2= -1+1/2=-1/2; 0– [ 1*1 ]/2= -1/2;

Пересчет элементов столбца свободных членов по правилу прямоугольника

2 – [ 1*10 ]/2= -3;

Пересчет значения целевой функции по правилу прямоугольника

0 – [ 10*(-3) ]/2= 0+5*3=15

Симплекс-таблица 2

Базис	Переменные	Свободный член	Оценочное отношение
Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6
Х5	-1	-1	-1/2			-1/2	-3	-3/(-1)=3
Х4	-3		-1/2			1/2		5/(-3)=∞
F	-10		-1/2			3/2

Так как в целевой строке есть отрицательные значения, то перейдем к симплекс-таблице 3, заменив базисную переменную х5 на х1.

Пересчет целевой строки по правилу прямоугольника

11– [ (-10)*(-1) ]/(-1)= 11+ 10*1 =21; -1/2– [ (-10)*(-1/2)]/(-1)= -1/2+ 5=9/2;

0– [ (-10)*1]/(-1)= 0+ [ (-10)*1]=10; 3/2– [ (-10)*(-1/2)]/(-1)= 3/2+5=13/2;

Так как в целевой строке все значения положительные, то для получения решения пересчитаем по правилу прямоугольника столбец свободных членов и значение целевой функции.

Пересчет элементов столбца свободных членов по правилу прямоугольника

5 – [ (-3)*(-3) ]/(-1)= 5 + 3*3= 14

Пересчет значения целевой функции по правилу прямоугольника

15 – [ (-3)*(-10) ]/(-1)= 15 + 3*10= 45

Симплекс-таблица 3

Базис	Переменные	Свободный член
Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6
Х1			1/2		-1	1/2
Х4
F			9/2			13/2

Х(3; 0; 0; 14; 0; 0) - оптимальный план.

f(x)=1*3-2*0-1*0+3*14+0*0+0*0=45 – максимальное значение целевой функции

4) сформулируем двойственную задачу и найдем ее оптимальный план,

Пусть х₁; х₂; х₃; х₄- объемы производства продукции каждого вида.

Целевая функция: max f(x)=1*х₁-2*х₂-1*х₃+3*х₄

Функциональные ограничения:

-4*х₁+2*х₂-1*х₃+1*х₄=2

-6* х₁ + 6*х₂-1*х₃+2*х₄=10

Прямые ограничения: х₁,х₂, х₃, х₄≥0

Оптимальная производственная программа заключается в выпуске 3 ед. первой продукции, 14 ед. четвертой продукции.

-4*3+2*0-1*0+1*14=2=2

-6*3 + 6*0-1*0+2*14=10=10

2=2 ресурс I используется не полностью y₁>0

10=10 ресурс II используется полностью y₂>0

Пусть y₁; y₂- двойственные оценки типов ресурсов соответственно.

Целевая функция: min g(y)=2*y₁+10*y₂

Функциональные ограничения:

-4*y₁-6*y₂≥1

2*y₁+6*y₂≥-2

-1*y₁-1*y₂≥-1

1*y₁+2*y₂≥3

Прямые ограничения: y₁,y₂>0

Найдем оптимальный план этой задачи, используя теорему двойственности:

Прежде всего, проверим, является ли указанный в условии задачи план допустимым решением:

Воспользуемся соотношением второй теоремы двойственности:

т.к. х₁, х₄>0, и х₂=0, х₃=0, то

g(y)=2*y₁+10*y₂→ min, где

y₁- себестоимость I типа сырья, y₂- себестоимость II типа сырья

G(y)=(y₁, y₂,) – структура решения

Так как, в плане по количеству изделий х₂=0; то исключим второе неравенство из системы ограничений

Так как, в плане по количеству изделий х₃=0; то исключим третье неравенство из системы ограничений

-4*y₁-6*y₂≥1

1*y₁+2*y₂≥3

Для вычисления значений двойственных оценок перепишем систему ограничений в виде системы уравнений

-4*y₁-6*y₂=1

1*y₁+2*y₂=3

-y₁=10

1*y₁+2*y₂=3

y₁=-10

1*y₁+2*y₂=3

y₁=-10

1*(-10)+2*y₂=3

y₁=-10

y₂=6,5

Y(-10, 6,5) –решение двойственной задачи

Проверка на оптимальность

Вычислим значения целевой функции двойственной задачи:

G(y)=2*(-10) +10*6,5=45

F(x)=1*3-2*0-1*0+3*14=45 – максимальное значение целевой функции

F(x)=G(y) =45 первая теорема двойственности выполнена

т.о. приведенный в условии план является оптимальным.

5) Осуществим анализ дефицитности ресурсов,

Ресурсы II и III являются недефицитными (y₂=0, y₃=0). Ресурсы I и IV являются дефицитными, причем ресурс I, чем ресурс I более дефицитен, к тому же убыточен(y₁=-10, y₄=6,5)

6) Определим интервал устойчивости ресурсов.

Подставим Y(-10; 6,5) в систему ограничений двойственной задачи

-4*(-10)-6*6,5≥1