Решение. Целевая функция: min Z(x)=-2х1+8х2+3*х3

1 2 3 4 5

Целевая функция: min Z(x)=-2*х₁+8*х₂+3*х₃

Функциональные ограничения:

3*х₁+1*х₂+2*х₃≤12

1*х₁+1*х₂+1*х₃=8

2*х₁-3*х₂+1*х₃≥-8

Прямые ограничения: х₁,х₂,х₃≥0

Целевая функция: min f(x)=-2*х₁+8*х₂+3*х₃

Функциональные ограничения:

3*х₁+1*х₂+2*х₃≤12

1*х₁+1*х₂+1*х₃=8

2*х₁-3*х₂+1*х₃≥-8

Прямые ограничения: х₁,х₂,х₃≥0

Запишем основную матрицу коэффициентов системы неравенств

3 1 2

1 1 1

2 -3 1

Удалим дублирующую строку и дублирующий столбец, получим:

1 1

-3 1

Основная матрица системы ограничений содержит дублирующую строку и дублирующий столбец.

Целевая функция: min f(x)=8*х₂+3*х₃

Функциональные ограничения:

-1*х₂-1*х₃≥-8

-3*х₂+1*х₃≥-8

Прямые ограничения: х₂,х₃≥0

Приведем систему ограничений к каноническому виду, для этого необходимо перейти от неравенств к равенствам, с добавлением дополнительных переменных.

Так как первое равенства имеет знак "=" необходимо внести в него дополнительную переменную x4 соответственно.

Так как второе неравенство имеет знак "≥" необходимо поменять знаки его коэффициентов на противоположные и внести в него дополнительную переменную x5 соответственно.

В результате получаем эквивалентную задачу:

Далее, решим задачу на максимум

Целевая функция: max f(x)=8*х₂+3*х₃

Функциональные ограничения:

1*х₂+1*х₃+1*х₄≤8

3*х₂-1*х₃+1*х₅≤8

Прямые ограничения: х₂,х₃≥0

3) решим задачу симплексным методом,

Для этого используем симплекс-метод.

Из данных задачи составляем исходную симплекс таблицу.

Симплекс-таблица 1

	Переменные	Свободный член	Оценочное отношение
Х2	Х3	Х4	Х5
Х4				8/1=8
Х5		-1		8/3
F	-8	-3		-

Выберем разрешающую строку по наибольшему отрицательному элементу, а разрешающий столбец по наибольшему по модулю отрицательному элементу. Пересечение разрешающей строки и разрешающего столбца дает разрешающий элемент.

Перейдем к симплекс-таблице 2, заменив базисную переменную х5 на х2.

Пересчет целевой строки по правилу прямоугольника

-3 – [ (-1)*(-8) ]/3= -3 - 8/3= -17/3; 0 – [1*(-8)]/3= 8/3;

Пересчет элементов второй строки по правилу прямоугольника

1 – [ 1*(-1) ]/3= 1 + 1/3= 4/3; 0 – [1*1]/3= -1/3;

Пересчет элементов столбца свободных членов по правилу прямоугольника

8 – [ 1*8 ]/3= 16/3

Пересчет значения целевой функции по правилу прямоугольника

0 – [ 8*(-8) ]/3= 64/3

Симплекс-таблица 2

Базис	Переменные	Свободный член	Оценочное отношение
Х2	Х3	Х4	Х5
Х4		4/3		-1/3	16/3	(16/3)/(4/3)= 4
Х2		-1/3		1/3	8/3	(8/3)/(-1/3)=∞
F		-17/3		8/3	64/3

Перейдем к симплекс-таблице 3, заменив базисную переменную х4 на х3.

Пересчет целевой строки по правилу прямоугольника

0 – [ 1*(-17/3)]/(4/3)= (17/3)*(3/4)=17/4;

(8/3) – [ (-1/3)*(-17/3)]/(4/3)=(8/3)-(1/3)*(17/3)*(3/4)=

= (8/3)- (1/3)*(17/4)= (32/12)- (17/12)= 15/12=5/4

Поскольку в целевой строке нет отрицательных значений, то далее пересчитаем столбец свободных членов и целевое значение функции

Пересчет элементов столбца свободных членов по правилу прямоугольника

(8/3) – [ (16/3)*(-1/3)]/(4/3)=(8/3) + (16/3)*(1/3)*(3/4)=

= (8/3) + (16/3)*(1/4)=(8/3)+ (4/3)= (12/3)=4

Пересчет значения целевой функции по правилу прямоугольника

64/3 – [ (16/3)*(-17/3)]/(4/3)= 64/3 + (16/3)*(17/3)*(3/4)=

= 64/3 + (16/3)*(17/4)= 64/3 + (4*17/3)= 132/3=44

Симплекс-таблица 3

Базис	Переменные	Свободный член
Х2	Х3	Х4	Х5
Х3			3/4	-1/4
Х2
F			17/4	5/4

Х(0; 4; 4; 0; 0) - оптимальный план.

f(x)=0*0+8*4+3*4+0*0+0*0=44 – максимальное значение целевой функции

g(y)= - f(x)= -44 – минимальное значение целевой функции

4) сформулируем двойственную задачу и найдем ее оптимальный план,

Пусть х₂; х₃- объемы производства продукции каждого вида.

Целевая функция: max f(x)=8*х₂+3*х₃

Функциональные ограничения:

1*х₂+1*х₃≤8

3*х₂-1*х₃≤8

Прямые ограничения: х₂,х₃≥0

Оптимальная производственная программа заключается в выпуске 4 ед. второго вида продукции и 4 единиц третьего вида продукции.

1*4+1*4=8

3*4-1*4=8

8=8 ресурс II используется полностью y₂>0

8=8 ресурс III используется полностью y₃>0

Пусть y₂; y₃- двойственные оценки типов ресурсов соответственно.

Целевая функция: min g(y)=8*y₂+8*y₃

Функциональные ограничения:

1*y₂+3*y₃≥8

1*y₂-1*y₃≥3

Прямые ограничения: y₂,y₃>0

Найдем оптимальный план этой задачи, используя теорему двойственности:

Прежде всего, проверим, является ли указанный в условии задачи план допустимым решением:

Воспользуемся соотношением второй теоремы двойственности:

т.к. х₂, х₃>0,то

g(y)=8*y₂+8*y₃→ min, где

y₂- себестоимость II типа сырья, y₃- себестоимость III типа сырья,

G(y)=(y₂, y₃) – структура решения

Так как, в плане по количеству изделий х₂>0; то исключать второе неравенство из системы ограничений нельзя.

1*y₂+3*y₃≥8

Так как, в плане по количеству изделий х₃>0; то исключать третье неравенство из системы ограничений нельзя.

1*y₂-1*y₃≥3

Перепишем систему ограничений в виде системы уравнений

1*y₂+3*y₃≥8

1*y₂-1*y₃≥3

1*y₂+3*y₃=8

1*y₂-1*y₃=3

4*y₃=5

1*y₂-1*y₃=3

y₃=5/4=1,25

1*y₂-1*y₃=3

y₃=1,25

1*y₂-1*1,25=3

y₃=1,25

1*y₂=1,25+3=4,25

Y(0; 4,25, 1,25) –решение двойственной задачи

Проверка на оптимальность

Вычислим значения целевой функции двойственной задачи:

G(y)=0*0+8*4,25 +8*1,25=44

F(x)= 0*0+8*4+3*4+0*0+0*0=44

F(x)=G(y) =44 первая теорема двойственности выполнена

т.о. приведенный в условии план является оптимальным.

5) Осуществим анализ дефицитности ресурсов,

Ресурс I является недефицитным (y₁=0). Ресурсы II и III являются дефицитными, причем ресурс II более дефицитный, чем ресурс I (y₁=0, y₂=4,25, y₃=1,25, y₂>y₃)

Найдем норму заменяемости для дефицитных ресурсов:

y₂/y₃=4,25/1,25 =3,4

Следовательно, ресурс II в 3,4 раз более эффективен, чем ресурс III с точки зрения влияния на максимум продукции.

6) Определим интервал устойчивости ресурсов.

Подставим Y(0; 4,25; 1,25) в систему ограничений двойственной задачи