Гармоническими называются колебания, при которых какая-либо величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.
u = Usin (ω t + φ0), (1)
u = Ucos (ω t + φ0).
где u – смещение колеблющейся частицы от положения своего равновесия в момент времени t;
U – максимальная амплитуда смещения гармонического колебания. Амплитуда колебания зависит только от начального отклонения (начальной энергии, сообщенной колебательной системе).
(ω t + φ0) – фаза гармонического колебания; представляет собой аргумент синуса или косинуса.Фаза колебания измеряется в радианах и определяет значение смещения (колеблющейся величины) в данный момент времени.
φ0 – начальная фаза; характеризует положение точки в начальный момент времени;
ω – циклическая (круговая) частота; равна величине угла поворота, иначе ее называют угловой скоростью. Связь циклической частоты ω с линейной f и периодом Т: если угол поворота φ материальной точки равен 2π, т.е. периоду Т колебаний (исходя из равенства φ = ω t для любого момента времени t) получаем 2π = ω t
|
|
ω = , [рад/с] (2)
где f = 1/ Т – линейная частота колебаний (число полных колебаний, происходящих за одну секунду), [1/с], [с-1], [Гц].
Это простейший вид периодических колебаний. Конкретный вид функции (синус или косинус) зависит от способа выведения системы из положения равновесия. Если выведение происходит толчком (сообщается кинетическая энергия), то при t = 0 смещение u = 0, следовательно, удобнее пользоваться функцией sin, положив φ0 = 0; при отклонении от положения равновесия (сообщается потенциальная энергия) при t = 0 смещение u = U, следовательно, удобнее пользоваться функцией cos и φ0 = 0.
Рисунок 5 |
Рисунок 5 – а) пример регистрации гармонических колебаний физического маятника; б) осциллограмма гармонических колебаний |
Рисунок 6 – Движение точки по окружности с постоянной скоростью
Чтобы установить основные кинематические признаки гармонических колебаний, рассмотрим их математическую модель на примере изменения физических величин, характеризующих движение маленького шарика (материальной точки Мt) по окружности с постоянной угловой скоростью ω (рисунок 6). Начало координат поместим в центре окружности радиуса R. Проследим движение точки Мt ', являющейся проекцией точки Мt на ось Y. Пусть в начальный момент времени материальная точка находилась в положении М0 и ее радиус-вектор составлял с осью Ох угол φ0.
|
|
Через промежуток времени t точка переместилась в положение Мt, а ее радиус-вектор повернулся на угол Δφ = ω t и составляет в данный момент с осью Ох угол
φ t = φ0 +Δφ = φ0 + ω t.
Тогда смещение u у1 точки Мt вдоль оси Y есть
u у1 = U у sin (φ0 + ω t), (3)
где u у1 = ОМt – амплитуда колебаний точки Мt 'относительно оси X, равная наибольшему отклонению точки Мt в данное время от этой оси.
Значение угла φ для любого момента времени t есть
φ = ω t = 2 π t / T,(4)
Отсчет угла φ ведется от оси Х против часовой стрелки. Если бы круговое движение началось из положения φ = φ0 = 0, то формула для смещения записывалась бы в виде:
u у = U у sin ω t = U у sin(2 π t / T), (5)
Также будет выглядеть формула (5), если φ = 2π, что соответствует полному обороту точки Мt в случае, если движение точки по окружности начнется из положения φ = φ0 = 0.
Если рассматривать изменение проекции их точки Мt на горизонтальную ось X (рисунок 6), то оно описывается выражением
u х = U x s in (ω t + φ0 + π/2) = U x cos (ω t + φ0 ). (6)
Таким образом, точка Мt совершает гармонические колебания как относительно оси Y, так и относительно оси X.
Выводы: