Асимптоты плоской кривой

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Для кривой, которая является графиком функции , различают вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты.

Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции , если выполняется хотя бы одно из условий:

или , т.е.

если значение х = а является точкой бесконечного разрыва функции или границей ее области определения.

Прямая является наклонной (при k = 0 горизонтальной) асимптотой графика функции , если существуют конечные пределы

, и . (1)

Если хотя бы один из этих пределов не существует и равен бесконечности, то кривая наклонной асимптоты не имеет.

При вычислении, пределы (1) могут быть различными при х®+¥ и при х®–¥.

Пример 1.

Найти асимптоты графика функции .

Решение.

Область определения функции: х ¹ 3, поэтому х = 3 является точкой разрыва функции.

Вычисляем и заключаем, что прямая х = 3 является вертикальной асимптотой графика.

Наклонные (горизонтальные) асимптоты ищем уравнением , в котором числа k и b вычисляем по формулам (1):

= ,

= .

Таким образом, график функции имеет две асимптоты: вертикальную х = 3 и горизонтальную y = 5 при х®±¥.

Ответ: х = 3, y = 5.

Пример 2.

Найти асимптоты графика функции .

Решение.

Область определения функции: х ¹ 1 Þ х = 1 – точка разрыва графика.

Так как ¥, то прямая х = 1 является вертикальной асимптотой. Наклонные (горизонтальные) асимптоты:

, где 3,

3

Þ y = 3x + 3 – наклонная асимптота.

Ответ: х = 1, y = 3x + 3.

Пример 3.

Найти асимптоты графика функции .

Решение.

Область определения функции: х > 0.

На границе области определения возможна вертикальная асимптота.

Вычисляем и заключаем, что прямая х = 0 является правосторонней вертикальной асимптотой.

Наклонные (горизонтальные) асимптоты: ,

где = = 1,

Þ наклонных асимптот нет.

Ответ: х = 0 при х ® + 0.

Пример 4.

Найти асимптоты графика функции .

Решение.

Область определения функции: х ¹ 1.

Т.к. , то прямая х = 1 является вертикальной асимптотой графика (двухсторонней).

Наклонные асимптоты: , причем пределы (1) для вычисления чисел k и b нужно вычислять отдельно при х ® +¥ и х ® -¥, имея в виду поведение функции

Þ .

= =

Þ при х ® +¥ наклонных (горизонтальных) асимптот нет.

0,

0

Þ y = 0 – горизонтальная асимптота только при х ® -¥.

Ответ: х = 1, y = 0 (при х ® -¥).

Дополнительные упражнения.

Найти уравнения асимптот графиков следующих функций.

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. .

Ответы.

1. ;	2. ;
3. , , ;	4. , ;
5. , ;	6. (при ), ;
7. .