Возрастание и убывание функции

Исследование функции, построение графика.

Учебно-практическое пособие

Возрастание и убывание функции.

Функция называется монотонно возрастающей в интервале хÎ(а, b), если для любых двух точек х₁ и х₂ этого интервала из неравенства х₂> х₁ следует неравенство > , то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции.

Функция называется монотонно убывающей на интервале хÎ(а, b), если для любых двух точек х₁ и х₂ этого интервала из неравенства х₂> х₁ следует неравенство < , то есть если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствует меньшее значение функции.

В области существования функции f(x) можно указать (в простейших случаях) конечное число интервалов возрастания и интервалов убывания функции, то есть интервалов монотонности функции.

Достаточный признак монотонности дифференцируемой функции:

если на интервале хÎ(а, b) производная сохраняет знак, то функция сохраняет монотонность на этом интервале, а именно:

если , то монотонно возрастает;

если , то монотонно убывает.

Пример 1.

Определить интервалы возрастания и убывания функции

Решение.

Область определения данной функции: хÎ(0;+¥).

Интервалы возрастания найдем из достаточного признака возрастания: >0.

Так как где >0, то решаем систему неравенств:

По достаточному признаку монотонности заключаем, что – это интервал возрастания данной функции (обозначается “”).

Интервалы убывания находим аналогично из достаточного признака убывания: <0, то есть, решая систему неравенств:

По достаточному признаку монотонности заключаем, что – это интервал убывания данной функции (обозначается “¯”).

Ответ: функция Š при , ‰ при .

Пример 2.

Определить интервалы монотонности функции

Решение.

Область определения функции: хÎ(-¥;+¥).

Находим производную здесь во всех точках, кроме , где .

Следовательно, согласно достаточному признаку монотонности, данная функция возрастает при всех х ¹ 0.

Далее очевидно, что для любого х₁> 0 будет , а для любого х₂< 0 будет . Поэтому, согласно определению, функция возрастает в любом интервале, включающем точку х = 0.

Ответ: при хÎ(-¥;+¥) функция монотонно возрастает.

Пример 3.

Исследовать на возрастание и убывание функцию

Решение.

Здесь хÎ(-¥;+¥).

Решив уравнение х⁴– х²= 0, найдем точки х₁= , х₂= 0, х₃= 1, в которых производная .

Так как может изменять знак только при переходе через точки, в которых она обращается в нуль или терпит разрыв для непрерывности (в данном случае точки разрыва для отсутствуют), то в каждом из интервалов (–¥;–1), (–1;0), (0;1), (1;+¥) производная сохраняет знак, поэтому в каждом из этих интервалов исследуемая функция монотонна. Чтобы выяснить, в каких из указанных интервалов функция возрастает, а в каких убывает, нужно определить знак производной в каждом из этих интервалов. Для этого достаточно просчитать знак в какой-нибудь одной точке каждого интервала и результаты оформить в виде следующей схемы: