Если функция непрерывна на замкнутом отрезке xÎ[a;b], то она обязательно имеет на этом отрезке наименьшее и наибольшее значения (это одно из свойств функций, непрерывных на замкнутом отрезке):
,
.
Эти значения достигаются функцией либо в точках экстремумов внутри отрезка, либо на концах отрезка.
Правило практического нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке :
1) найти критические точки функции на интервале ;
2) вычислить значения функции в найденных критических точках;
3) вычислить значения функции на концах отрезка, то есть в точках х = a и х = b;
4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
Если функция на отрезке xÎ[a;b], имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.
Пример 1.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке хÎ[–2;3].
Решение.
Так как , то критическими точками функции являются х1 = –1 и х2 = 1 и они обе принадлежат отрезку
|
|
[–2; 3]. Сравнивая значения функции в этих точках и значения функции на концах заданного отрезка
5, 1,
1, 21,
заключаем, что наименьшее значение функции равно 1 и достигается в точке х = –2 и х = 1, а наибольшее значение функции равно 21 и достигается в точке х = 3.
Все полученные результаты хорошо иллюстрируются схематичным графиком на заданном отрезке.
Ответ: , .
Пример 2.
, хÎ[1;е]. Найти и .
Решение.
Во всех точках заданного замкнутого отрезка данная функция определена и непрерывна, имеет производную
, если или .
Обе стационарные точки х1 = 0 и х2 не принадлежат отрезку [ 1; е ]. Поэтому, внутри заданного отрезка нет критических точек (то есть функция на нем сохраняет монотонность).
Остается вычислить значение функции на концах отрезка:
, .
Схема графика функции:
Ответ: , .
Пример 3.
Найти наименьшее и наибольшее значения функции , .
Решение.
На данном замкнутом отрезке функция является непрерывной и имеет производную .
Находим критические точки внутри заданного промежутка:
Þ Û Û
Þ только х1 = и х2 = p принадлежат .
Вычисляем значения функции в критических точках и на концах промежутка:
;
;
Схема графика функции:
Ответ: , .
Во многих геометрических, физических и технических задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значение величины, связанной функциональной зависимостью с другой величиной. Для решения такой задачи следует, исходя из её условия, выбрать независимую переменную и выразить исследуемую величину через эту переменную, а затем найти искомое наибольшее или наименьшее значение полученной функции. При этом промежуток изменения независимой переменной может быть конечным или бесконечным, он также определяется из условия задачи.
|
|
Пример 4.
Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м3 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.
Решение.
Количество материала, необходимого для облицовки стен и дна бассейна определяется площадью поверхности бассейна, т.е. величиной (м2), где
х – это длина стороны квадратного дна,
y – это высота бассейна.
Так как объем бассейна фиксирован , то величины х и y не являются независимыми, а связаны между собой равенством x2y = 32, из которого находим .
Тогда, подлежащая исследованию величина площади , выражается как функция одной независимой переменной х:
, хÎ(0;+¥).
Исследуем эту функцию на наименьшее значение, построив график ее зависимости от х:
Þ при х = 4;
S(4) = Smin = 16+ (m2).
Таким образом, Sнаим = Smin = S(4) = 80, т.е. х = 4 Þ .
Ответ: размеры бассейна х = 4 м, y = 2 м.
Пример 5.
Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб для подачи воды. При каком угле наклона боковых стенок к днищу желоба площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?
Решение.
Поперечное сечение желоба представляет собой равнобочную трапецию ABCD, у которой боковые стороны и нижнее основание равны ширине досок (обозначим ее через a).
Очевидно, что площадь этой трапеции зависит от угла наклона боковых сторон к нижнему основанию. Но здесь удобнее ввести в качестве независимой переменной угол .
Тогда , , .
Исследуемую величину площади трапеции S запишем как функцию угла :
Þ
, Î , причем, S(0) = а2, S = 0.
Найдем наибольшее значение этой непрерывной функции на замкнутом промежутке:
Þ
при Û Û
Û Û
Û
– единственная стационарная точка из промежутка .
Проверим, что это точка максимума с помощью второй производной:
Þ
при функция имеет максимум (по второму достаточному условию экстремумов).
Так как этот максимум является единственным экстремумом на промежутке, то он и дает наибольшее значение функции .
Найдя , удовлетворяющее условию задачи, вычисляем .
Ответ: .
Дополнительные упражнения.
Найти наименьшее и наибольшее значение функции на замкнутом отрезке.
1. , хÎ ; | 2. , хÎ ; |
3. , хÎ ; | 4. , хÎ ; |
5. , хÎ ; |
6. Число 66 представить в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.
7. В треугольник с основанием а и высотой h вписан прямоугольник, основание которого лежит на основании треугольника, а две вершины – на боковых сторонах. Найти наибольшую площадь вписанного прямоугольника.
8. Найти размеры цилиндрической закрытой цистерны с заданным объемом и с наименьшей площадью полной поверхности.
9. Расходы на топливо судна состоят из двух частей. Первая часть пропорциональна кубу скорости судна и при скорости в 10 км/час составляет 30 рублей в час. Вторая часть расходов не зависит от скорости и составляет 480 рублей в час. При какой скорости судна общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей? Чему равна при этом общая сумма расходов за 1 час?
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5.
6. 33+33;
7. ;
8. ;
9. .