2015-02-14
228
Если при 
, а 
, то говорят, что функция 
является бесконечно малой более высокого порядка, чем 
при .
Пример 4. Установить, какие из следующих утверждений верны:
1) 
при а) 
, б) 
; 
2) 
при а) , б) ;
3) 
при а) 
, б) 
;
4) 
при а) , б) .
1) а) Утверждение верно, так как 
;
б) Утверждение неверно, ибо 
.
2) а) Утверждение неверно, так как 
;
б) Утверждение истинно, ибо 
.
3) а) Утверждение верно, так как 
;
б) Утверждение неверно, ибо 
.
4) а) Утверждение неверно, так как 
;
б) Утверждение истинно, так как 
.
Пример 5. Доказать или опровергнуть утверждение: 
, , где 
Здесь функция 
обращается в нуль в точках, сколь угодно близких к точке 
. Поэтому придется воспользоваться определением символа 
. Так как существует функция 
, что 
и 
, то , - утверждение истинно.
Замечание!!
При использовании равенств с символами 
и 
следует иметь в виду, что эти равенства не являются равенствами в обычном смысле. Так, из равенств 
, 
при не следует, что 
: 
, 
при , но 
.
Пример 6. Докажем следующие правила: при :
1) 
, 
— постоянная;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
Для доказательства этих правил возьмем левую часть рассматриваемых равенств и докажем, что ее можно заменить правой.
1) По определению символа 
:
, 
, но тогда
, где 
и , .
2) Так как 
, , то 
, где 
, и, таким образом, при .
3) Учитывая, что 
, 
, 
, 
, получим: 
,
где 
, поэтому: при .
4) Так как 
, где 
и , то 
, где 
, т.е. при .
В силу доказанных соотношений 1) – 4) левую часть каждого из них можно заменить правой, проделать обратную замену, вообще говоря, нельзя.
Пример 7. Доказать равенства при :
1) 
;
2) 
.
Обозначим 
,согласно определению символа : 
в некоторой 
- окрестности точки 
.
1) Тогда 
и, вводя обозначение 
, будем иметь: 
в некоторой
-окрестности точки .
Если 
, то в 
- окрестности точки будем иметь 
при .
2) Символ по определению означает: , . Тогда 
.
Так как , то в некоторой окрестности точки 
,следовательно: 
, то есть 
или при .
Вычисление пределов функций существенно упрощается, если использовать понятие эквивалентности функций и следующие две теоремы.
Теорема 1.
Для того чтобы функции и , отличные от нуля в некоторой окрестности точки , были эквивалентными при , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий: 
либо 
при .
Теорема 2.
Пусть 
при . Тогда, если существует 
, то существует и 
, причем эти пределы равны.
Пример 8.Найти 
.
При имеем: 
, 
, 
.
Следовательно, 
, 
, 
,и 
Используя далее правила обращения с символами : , 
пример 6 (1,2) 
, получим:
.
Пример 9.Найти 
.
При имеем: 
,
аналогично 
, поэтому 
Пример 10. Найти 
.
При функция 
. Тогда, используя замечательный предел 
, получим: 
при , т.е. 
и 
Убедимся, что 
при .
По определению символа : 
где 
. Но тогда 
и требуемое установлено.
Пример 11.Найти 
.
Воспользуемся замечательным пределом: 
.
Тогда 
.
Поэтому 
, 
при .
Следовательно, 
