Определение 5. Если при , а , то говорят, что функция является бесконечно мало

10 11 12 13 14 15 16

Если при , а , то говорят, что функция является бесконечно малой более высокого порядка, чем при .

Пример 4. Установить, какие из следующих утверждений верны:

1) при а) , б) ;

2) при а) , б) ;

3) при а) , б) ;

4) при а) , б) .

1) а) Утверждение верно, так как ;

б) Утверждение неверно, ибо .

2) а) Утверждение неверно, так как ;

б) Утверждение истинно, ибо .

3) а) Утверждение верно, так как ;

б) Утверждение неверно, ибо .

4) а) Утверждение неверно, так как ;

б) Утверждение истинно, так как .

Пример 5. Доказать или опровергнуть утверждение: , , где

Здесь функция обращается в нуль в точках, сколь угодно близких к точке . Поэтому придется воспользоваться определением символа . Так как существует функция , что и , то , - утверждение истинно.

Замечание!!

При использовании равенств с символами и следует иметь в виду, что эти равенства не являются равенствами в обычном смысле. Так, из равенств , при не следует, что : , при , но .

Пример 6. Докажем следующие правила: при :

1) , — постоянная;

2) ;

3) ;

4) .

Для доказательства этих правил возьмем левую часть рассматриваемых равенств и докажем, что ее можно заменить правой.

1) По определению символа :

, , но тогда

, где и , .

2) Так как , , то , где , и, таким образом, при _.

3) Учитывая, что , , , , получим: ,

где , поэтому: при .

4) Так как , где и , то , где , т.е. при .

В силу доказанных соотношений 1) – 4) левую часть каждого из них можно заменить правой, проделать обратную замену, вообще говоря, нельзя.

Пример 7. Доказать равенства при :

1) ;

2) .

Обозначим ,согласно определению символа : в некоторой - окрестности точки .

1) Тогда и, вводя обозначение , будем иметь: в некоторой

-окрестности точки .

Если , то в - окрестности точки будем иметь при .

2) Символ по определению означает: , . Тогда .

Так как , то в некоторой окрестности точки ,следовательно: , то есть или при .

Вычисление пределов функций существенно упрощается, если использовать понятие эквивалентности функций и следующие две теоремы.

Теорема 1.

Для того чтобы функции и , отличные от нуля в некоторой окрестности точки , были эквивалентными при , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий: либо при .