Теорема. Для того чтобы функции и были эквивалентны при , достаточно, чтобы

Для того чтобы функции и были эквивалентны при , достаточно, чтобы .

Из теоремы и известных пределов следуют часто применяемые эквивалентности: при .

Справедливы и более общие эквивалентности: если при функция и при , то при (следует из теоремы о пределе композиции).

Пример 3. Какие из следующих пар функций являются эквивалентными при x→ 0:

1) , ;

2) ;

3)

1) Так как то при .

2) Так как ,

то при .

3) В этом случае не существует, однако при x→ 0. Действительно, существует функция такая, что и .

Теорема дает достаточное условие, но не необходимое. Это условие будет являться и необходимым, если в окрестности точки , и .