2015-02-14
1330
Определение. Функция 
называется ограниченной на некотором множестве 
, если для любого 
выполняется неравенство 
, где 
– некоторая положительная константа.
Теорема 1. Пусть функция имеет предел в точке 
, тогда существует проколотая окрестность 
, в которой функция ограничена.
Доказательство. Пусть 
. Это значит, что для любого 
и для 
существует 
такое, что для любого 
выполняется неравенство 
, т.е. 
.
Пусть 
. Тогда для любого выполняется неравенство 
, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Если функция имеет предел при 
, то этот предел единственный.
Доказательство. Предположим, что функция при имеет два различных предела, т.е. 
и .
, следовательно:
для любого существует 
такое, что для любого 
: 
. (1)
, следовательно:
для любого существует 
такое, что для любого : 
. (2)
Пусть 
. Тогда для любого : 
будут одновременно выполняться и неравенство (1), и неравенство (2).
Для этих значений имеем:
.
По свойству модулей имеем:
.
Следовательно, 
, т.е. 
. Следовательно, если предел у функции существует, то он единственный.
Теорема 3 (теорема о двух милиционерах). Пусть даны три функции , 
, 
, которые определены в некоторой окрестности и удовлетворяют условию 
в этой окрестности. Тогда, если 
, то .
Доказательство. Пусть удовлетворяет условию . (*)
Пусть 
, следовательно:
для любого существует такое, что для любого : 
. (3)
Пусть 
, следовательно:
для любого существует такое, что для любого : 
. (4)
Пусть . Тогда для любого , удовлетворяющего соотношению , будут одновременно выполняться и неравенство (3) и неравенство (4).
Неравенство (3) можно представить в виде: 
.
Неравенство (4) можно представить в виде: 
.
Они выполняются одновременно, причем по условию выполняется неравенство (*). Тогда для любого получаем:
|
|
|
|
. 
Таким образом, имеем: для любого : выполняется 
.
