Определение. Функция называется ограниченной на некотором множестве , если для любого выполняется неравенство , где – некоторая положительная константа.
Теорема 1. Пусть функция имеет предел в точке , тогда существует проколотая окрестность , в которой функция ограничена.
Доказательство. Пусть . Это значит, что для любого и для существует такое, что для любого выполняется неравенство , т.е. .
Пусть . Тогда для любого выполняется неравенство , что и требовалось доказать.
Теорема 2. Если функция имеет предел при , то этот предел единственный.
Доказательство. Предположим, что функция при имеет два различных предела, т.е. и .
, следовательно:
для любого существует такое, что для любого : . (1)
, следовательно:
для любого существует такое, что для любого : . (2)
Пусть . Тогда для любого : будут одновременно выполняться и неравенство (1), и неравенство (2).
Для этих значений имеем:
.
По свойству модулей имеем:
.
Следовательно, , т.е. . Следовательно, если предел у функции существует, то он единственный.
|
|
Теорема 3 (теорема о двух милиционерах). Пусть даны три функции , , , которые определены в некоторой окрестности и удовлетворяют условию в этой окрестности. Тогда, если , то .
Доказательство. Пусть удовлетворяет условию . (*)
Пусть , следовательно:
для любого существует такое, что для любого : . (3)
Пусть , следовательно:
для любого существует такое, что для любого : . (4)
Пусть . Тогда для любого , удовлетворяющего соотношению , будут одновременно выполняться и неравенство (3) и неравенство (4).
Неравенство (3) можно представить в виде: .
Неравенство (4) можно представить в виде: .
Они выполняются одновременно, причем по условию выполняется неравенство (*). Тогда для любого получаем:
Таким образом, имеем: для любого : выполняется .