double arrow

Свойства функций, имеющих предел


Определение.Функция называется ограниченной на некотором множестве , если для любого выполняется неравенство , где – некоторая положительная константа.

Теорема 1.Пусть функция имеет предел в точке , тогда существует проколотая окрестность , в которой функция ограничена.

Доказательство. Пусть . Это значит, что для любого и для существует такое, что для любого выполняется неравенство , т.е. .

Пусть . Тогда для любого выполняется неравенство , что и требовалось доказать.

Теорема 2.Если функция имеет предел при , то этот предел единственный.

Доказательство. Предположим, что функция при имеет два различных предела, т.е. и .

, следовательно:

для любого существует такое, что для любого : . (1)

, следовательно:

для любого существует такое, что для любого : . (2)

Пусть . Тогда для любого : будут одновременно выполняться и неравенство (1), и неравенство (2).

Для этих значений имеем:

.

По свойству модулей имеем:

.

Следовательно, , т.е. . Следовательно, если предел у функции существует, то он единственный.

Теорема 3 (теорема о двух милиционерах). Пусть даны три функции , , , которые определены в некоторой окрестности и удовлетворяют условию в этой окрестности. Тогда, если , то .

Доказательство. Пусть удовлетворяет условию . (*)

Пусть , следовательно:

для любого существует такое, что для любого : . (3)

Пусть , следовательно:

для любого существует такое, что для любого : . (4)

Пусть . Тогда для любого , удовлетворяющего соотношению , будут одновременно выполняться и неравенство (3) и неравенство (4).

Неравенство (3) можно представить в виде: .

Неравенство (4) можно представить в виде: .

Они выполняются одновременно, причем по условию выполняется неравенство (*). Тогда для любого получаем:

.

Таким образом, имеем: для любого : выполняется .


Сейчас читают про: