Определение 1. Функция называется б/м функцией при , если .
Пример. Функции и являются б/м при , т.к. и .
Теорема 1. Пусть , – б/м функции при . Тогда:
– б/м функция при .
Доказательство. Рассмотрим произвольное число . Тогда:
для существует такое, что для любого : ;
для существует такое, что для любого : .
Пусть . Тогда для любого имеем:
.
Т.е. для любого нашли такое, что для всех выполняется неравенство . Следовательно, , т.е. – б/м функция при .
Теорема 2. Пусть – б/м функция при и функция – ограничена в , тогда – б/м функция при .
Доказательство. Пусть – б/м функция при , следовательно, .
– ограниченная в функция, следовательно, существует : для любого .
Для любого рассмотрим . По определению предела для него существует такое, что для любого .
Пусть , тогда для любого : .
Таким образом, для любого существует такое, что для любого : . Следовательно, , т.е. – б/м функция при .
Теорема 3. Пусть – б/м функция при , функция имеет предел . Тогда:
– б/м функция при .
Доказательство. По условию: .
|
|
Согласно теореме 2, если умножить б/м функцию на ограниченную, то получится б/м функция. Докажем, что – ограниченная в функция.
, следовательно, для любого существует такое, что для любого : .
Отсюда получаем:
, тогда .
Пусть , тогда:
, .
Таким образом, функция – ограничена в , следовательно, по теореме 2, – б/м функция при .
Определение 2. Функция называется б/б функцией при , если для любого сколь угодно большого наперед заданного числа существует такое, что для любого : .
Обозначение: .
Теорема 4. Пусть – б/б функция при . Тогда функция является б/м функцией при .
Доказательство. Пусть – б/б функция при , т.е. для любого , а значит и для существует такое, что для любого : , следовательно, является б/м функцией при .
Теорема 5. Пусть – б/м функция при . Тогда функция является б/б функцией при .
Доказательство. Для любого ( – произвольное, сколь угодно большое число) существует . По определению б/м функции имеем: для любого существует такое, что для любого : . Таким образом, получили, что для любого : , следовательно, является б/б функцией при .