2015-02-14
702
Теорема 1. Если функция 
имеет предел в точке 
, равный 
, т.е. 
, то функцию можно представить в виде 
, где функция 
– б/м функция при 
.
Доказательство. Пусть .
Рассмотрим 
. Докажем, что – б/м функция при . То, что означает, что для любого 
существует 
такое, что для любого 
: 
, следовательно, – б/м функция при .
Теорема 2 (обратная к теореме 1). Если функцию можно представить в виде суммы постоянного числа и некоторой функции – б/м при , т.е. , то существует .
Доказательство. Пусть функция представима в виде , где – б/м функция при . Это значит: для любого существует такое, что для любого : 
, следовательно, существует .
Теорема 3. Пусть 
и 
.
Тогда функция 
имеет в точке предел
.
Доказательство. По теореме 1 имеем:
, где – б/м функция при ,
, где 
– б/м функция при .
Тогда: 
.
Т.к. 
(
) – б/м функция при ,
следовательно, (
) – б/м функция при . Тогда по теореме 2:
.
Теорема 4. Пусть и .
Тогда функция 
имеет в точке предел
.
Доказательство. По теореме 1 имеем:
, где – б/м функция при ,
, где – б/м функция при .
Тогда:
.
 | |||||
 | |||||
 | |||||
Сумма б/м функций есть б/м функция, т.е.
, где 
– б/м функция при .
Тогда по теореме 2:
.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
.
Следствие 2. Предел функции в степени 
(
):
.
Теорема 5. Пусть и 
.
Тогда функция 
имеет предел
.
Доказательство. По теореме 1 имеем:
, где – б/м функция при ,
, где – б/м функция при .
Рассмотрим:
– б/м функция
|
– б/м функция при 
– б/м функция
– б/м функция при .
По теореме 2: 
, следовательно, по теореме 3 о б/м функциях – б/м функция при .
Таким образом, получили:
.
