Теорема 1. Если функция имеет предел в точке , равный , т.е. , то функцию можно представить в виде , где функция – б/м функция при .
Доказательство. Пусть .
Рассмотрим . Докажем, что – б/м функция при . То, что означает, что для любого существует такое, что для любого : , следовательно, – б/м функция при .
Теорема 2 (обратная к теореме 1). Если функцию можно представить в виде суммы постоянного числа и некоторой функции – б/м при , т.е. , то существует .
Доказательство. Пусть функция представима в виде , где – б/м функция при . Это значит: для любого существует такое, что для любого : , следовательно, существует .
Теорема 3. Пусть и .
Тогда функция имеет в точке предел
.
Доказательство. По теореме 1 имеем:
, где – б/м функция при ,
, где – б/м функция при .
Тогда: .
Т.к. () – б/м функция при ,
следовательно, () – б/м функция при . Тогда по теореме 2:
.
Теорема 4. Пусть и .
Тогда функция имеет в точке предел
.
Доказательство. По теореме 1 имеем:
, где – б/м функция при ,
, где – б/м функция при .
|
|
Тогда:
.
Сумма б/м функций есть б/м функция, т.е.
, где – б/м функция при .
Тогда по теореме 2:
.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
.
Следствие 2. Предел функции в степени ():
.
Теорема 5. Пусть и .
Тогда функция имеет предел
.
Доказательство. По теореме 1 имеем:
, где – б/м функция при ,
, где – б/м функция при .
Рассмотрим:
– б/м функция
|
– б/м функция
– б/м функция при .
По теореме 2: , следовательно, по теореме 3 о б/м функциях – б/м функция при .
Таким образом, получили:
.