Предел функции в точке и в бесконечности

Пусть дана функция , определенная в проколотой окрестности точки .

Определение 1. Число называется пределом функции в точке (при ), если для любого сколь угодно малого числа существует такое, что для всех , удовлетворяющих соотношению , выполняется неравенство .(Рис. 12)

Обозначение: .

Геометрический смысл предела

Пример 1. Доказать: .

Доказательство. Для любого имеем:

.

Таким образом, для любого существует такое, что как только . Следовательно, .

Определение 2. Число называется пределом функции при , если для любого сколь угодно малого числа существует такое , что для всех выполняется неравенство .(Рис.13)

Геометрический смысл предела

Пример 2. Доказать: .

Доказательство. Для любого имеем:

.

Тогда для любого существует такое , что как только . Следовательно, .