Указания к задаче 6. Исследование функции и построение графика

Внутренняя точка интервала называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует такое , что для всех из интервала , содержащегося внутри интервала , выполняется неравенство

().

Точки максимума и минимума называют точками экстремума (локального экстремума) функции. Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными точками.

Приведем формулировки теорем, используемых при исследовании функций.

Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции: Если () в интервале , то строго возрастает (убывает) в этом интервале.

Промежутки, в которых функция возрастает (убывает), называются промежутками монотонности функции. Чтобы найти промежутки монотонности функции необходимо:

1.найти область определения функции;

2.найти производную функции;

3.приравнять производную к нулю и определить ее корни (стационарные точки), а также найти точки, в которых производная не существует, а функция определена;

4. определить знак производной в каждом из промежутков, на которые разбивается полученными точками область определения функции.

Необходимое условие экстремума функции: Если функция дифференцируема в точке и достигает в этой точке максимума (минимума), то .

Точками экстремума могут быть только те точки, в которых производная равна нулю, либо не существует. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называют точками, подозрительными на экстремум, или критическими точками.

Достаточные условия экстремума функции: Если при переходе через точку , подозрительную на экстремум, производная меняет знак, то точка является точкой экстремума. При этом если в некоторой окрестности точки для и для , то является точкой максимума. Если же в этой окрестности для и для , то – точка минимума.

Другим достаточным признаком существования экстремума в стационарной точке является условие (тогда это точка максимума) и (тогда это точка минимума). При этом считается, что имеет непрерывную вторую производную в некоторой окрестности точки . Заметим, что – вторая производная от функции , полученная повторным дифференцированием этой функции:

График функции называется выпуклым вверх в интервале , если он расположен ниже касательной проведенной в любой точке этого интервала (рис.1)

График функции называется выпуклым вниз в интервале , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала. (рис. 2)

Достаточные условия выпуклости вверх (вниз) графика функции: Если в интервале , то график функции является выпуклым вверх в этом интервале; если же , то в интервале график функции является выпуклым вниз.

Точка графика функции, переходя через которую график функции меняет характер выпуклости, называется точкой перегиба. Если – абсцисса точки перегиба графика функции , то вторая производная равна нулю или не существует в этой точке. Точки, в которых или не существует, называются критическими точками второго рода.

Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная меняет знак, то точка есть точка перегиба.

Прямая l называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от точки М(х,у) графика функции до прямой l стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат, (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из односторонних пределов этой функции равен бесконечности:

или .

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции (в тех точках, в которых функция не определена).

Прямая является горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x), если существует предел функции равный b при :

или

Прямая является наклонной асимптотой графика функции y = f(x), если существуют пределы:

или .

При исследовании функции и построении ее графика удобно придерживаться следующего плана:

1. Найти область определения функции.

2. Определить четность (нечетность), периодичность функции.

3. Найти точки разрыва.

4. Определить точки пересечения графика функции с осями координат.

5. Найти точки экстремума и вычислить значения функции в этих точках.

6. Определить интервалы возрастания и убывания функции.

7. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости графика функции.

8. Определить асимптоты.

9. Найти предельные значения функции при аргументе, стремящемся к границам области определения.

В процессе исследования функции не обязательно строго придерживаться приведенной схемы.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение: Данная функция определена и непрерывна на всей оси ОХ, за исключением точки , где она терпит бесконечный разрыв.

Следовательно, прямая является вертикальной асимптотой. Справа от х = -1 график уходит вверх, а слева – вниз.

Поскольку и , то рассматриваемая функция не является ни четной, ни нечетной, то есть это функция общего вида. Точка (0,0) является точкой пересечения функции с осями координат.

Вычислим производную:

Производная обращается в нуль при и .

Построим интервалы монотонности (рис. 3):

+ _ _ +

-2 -1 0 х

Рис. 3

Функция возрастает при и убывает при . Точка – точка максимума, а точка – точка минимума функции.

Найдем вторую производную:

Вторая производная в нуль нигде не обращается, но при переходе через точку меняет свой знак с минуса на плюс. Следовательно, в интервале график функции выпуклый вверх, а в интервале – выпуклый вниз. Точек перегиба функция не имеет.