5.1 – 5.20.Найти производные функций, заданных в явном и неявном виде.
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
5.9.
5.10.
5.11.
5.12.
5.13.
5.14.
5.15.
5.16.
5.17.
5.18.
5.19.
5.20.
Указания к задаче 5: производная функции одной переменной.
Пусть на интервале задана функция . Возьмем некоторое число и придадим аргументу приращение . Тогда значение функции получит приращение . Рассмотрим отношение . Если при существует конечный предел дроби , то этот предел называют произвoдной функции в точке и обозначают символом (или ):
.
Нахождение производной называют дифференцированием функции.
Функцию называют дифференцируемой в точке , если в окрестности этой точки ее приращение может быть представлено в виде:
.
Можно доказать, что для дифференцируемости функции необходимо и достаточно, чтобы существовала и была конечной ее производная, при этом .
Выражение называют дифференциалом функции и обозначают . Приращение аргумента называют дифференциалом независимой переменной и обозначают . Таким образом, .
Геометрически дифференциал есть приращение касательной, проведенной к графику функции в точке , и может быть как меньше, так и больше приращения функции . Для линейной функции
Если производная существует для всех из интервала , то тем самым производная определена как функция в этом интервале, и можно говорить о производной от этой функции, называемой второй производной функции : Аналогично вводится понятие высших производных (третья производная и т.д.).
Для освоения техники дифференцирования, то есть нахождения производных, необходимо использовать правила дифференцирования и таблицу производных наиболее часто встречающихся функций.
Основные правила дифференцирования:
1. .
2. ( – постоянная) .
3.
4. .
5. Производная сложной функции: если , то , где производные функций в правой части равенства берутся по аргументам и соответственно.
Приведем таблицу производных наиболее часто используемых функций:
1. ( – постоянная)
2.
3.
4. ( – постоянная)
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции: , при y > 0. Нахождение производных от многих функций значительно упрощается, если эти функции предварительно прологарифмировать, а затем воспользоваться логарифмической производной. При этом логарифмическую производную применяют формально, не учитывая, что формула имеет смысл лишь при y > 0.
Функция y(x) называется неявной, если зависимость между х и у выражена уравнением F(x,y)=0, неразрешенным относительно у.
Чтобы найти производную от неявной функции, надо данное уравнение продифференцировать, считая у функцией от х, а затем полученное уравнение решить относительно производной .
Рассмотрим примеры вычисления производных.
Пример 1. Найти производную функции .
Решение: Применяя правила 4, 1 и таблицу производных, получим:
.
Пример 2. Найти , если .
Решение: Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, получим:
Пример 3. Найти производную функции .
Решение: Применим логарифмическую производную:
Пример4. Найти производную функции , если
.
Решение: Применим правило дифференцирования неявной функции: