Функция называется первообразной для функции на некотором промежутке, если для всех значений из этого промежутка выполняется равенство .
Например, функция является первообразной для функции , так как при любом .
Можно заметить, что первообразной для является не только но и функция + С, где С – любая постоянная. Это справедливо для любой функции , имеющей первообразную.
Теорема. Пусть является первообразной для функции в некотором интервале . Тогда функция , где С – любая постоянная, также будет первообразной для .
Из теоремы следует, что любые две первообразные для одной и той же функции могут отличаться друг от друга только на постоянное слагаемое.
Если – первообразная для функции , то совокупность всех первообразных , где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом . Таким образом, = .
Функция называется подынтегральной функцией, произведение – подынтегральным выражением, переменная – переменной интегрирования, а символ – знаком интеграла.
Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием функции .Операция интегрирования является обратной к операции дифференцирования.
Свойства неопределенного интеграла:
1.
2.
3.
4. , ,
5. Если первообразная для , тогда
,
Таблица основных неопределенных интегралов:
1. ;
2.
3.
4.
5.
6.
7. ,
8.
9. ,
10. ,
11.
12.
13.
14.
Здесь и – функция от х, но на ее месте может быть и независимая переменная х.
Интегралы от некоторых элементарных функций не являются элементарными функциями, например:
Такие интегралы еще называются неберущимися.
Рассмотрим основные методы интегрирования.