2015-02-04
348
Рассмотрим функцию двух переменных 
, определенную в некоторой области 
, являющейся частью плоскости XOY. Частной производной от функции 
по независимой переменной х называется производная
вычисленная при постоянном у.
Частной производной по у называется производная
вычисленная при постоянном х.
Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.
При изменении 
и 
частные производные сами являются функциями, и можно вычислять частные производные от этих функций. Частные производные второго порядка обозначают следующим образом:
Последнюю из трех частных производных второго порядка называют смешанной производной. Если частные производные второго порядка непрерывны в точке 
, тогда 
, то есть не важно, в какой последовательности вычисляется смешанная производная.
Градиентом функции 
в точке 
называется вектор, координатами которого являются частные производные:
Этот вектор указывает в точке М0 направление наискорейшего роста функции .
Для функции двух переменных вводится понятие производной по направлению, аналогичное понятию частной производной, когда приращение аргумента задается вдоль данного направления. Для любого направления, задаваемого вектором 
, производная функции в точке по направлению этого вектора может быть выражена следующим образом:
где знак модуля означает длину вектора градиента в точке 
, а 
– угол между градиентом и направлением .
Пример. Найти градиент функции 
в точке 
.
Решение: Рассматривая у как постоянную величину, дифференцируем функцию по переменной х.
.
Аналогично, рассматривая х как постоянную величину, получаем:
.
Находим значения частных производных в точке :
,
Ответ: 
.
