Рассмотрим функцию двух переменных , определенную в некоторой области , являющейся частью плоскости XOY. Частной производной от функции по независимой переменной х называется производная
вычисленная при постоянном у.
Частной производной по у называется производная
вычисленная при постоянном х.
Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.
При изменении и частные производные сами являются функциями, и можно вычислять частные производные от этих функций. Частные производные второго порядка обозначают следующим образом:
Последнюю из трех частных производных второго порядка называют смешанной производной. Если частные производные второго порядка непрерывны в точке , тогда , то есть не важно, в какой последовательности вычисляется смешанная производная.
Градиентом функции в точке называется вектор, координатами которого являются частные производные:
Этот вектор указывает в точке М0 направление наискорейшего роста функции .
|
|
Для функции двух переменных вводится понятие производной по направлению, аналогичное понятию частной производной, когда приращение аргумента задается вдоль данного направления. Для любого направления, задаваемого вектором , производная функции в точке по направлению этого вектора может быть выражена следующим образом:
где знак модуля означает длину вектора градиента в точке , а – угол между градиентом и направлением .
Пример. Найти градиент функции в точке .
Решение: Рассматривая у как постоянную величину, дифференцируем функцию по переменной х.
.
Аналогично, рассматривая х как постоянную величину, получаем:
.
Находим значения частных производных в точке :
,
Ответ: .