Задача 4. 4.1 – 4.20. Найти следующие пределы

1 2 3 4 5 6 7

4.1 – 4.20. Найти следующие пределы.

4.1 а) б)

4.2. а) б)

4.3. а) б)

4.4. а) б)

4.5. а) б)

4.6. а) б)

4.7. а) б)

4.8. а) б)

4.9. а) б)

4.10. а) б)

4.11. а) б)

4.12. а) б)

4.13. а) б)

4.14. а) б)

4.15. а) б)

4.16. а) б)

4.17. а) б)

4.18. а) б)

4.19. а) б)

4.20. а) б)

Указания к задаче 4: предел функции, предел последовательности.

Областью определения функции называют те значения , для которых данное выражение имеет смысл и значения конечны. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Если для любого числа > 0 найдется такое число > 0, что при всех , удовлетворяющих неравенству , будет выполнено неравенство , то число называют пределом функции в точке , то есть

A = .

Число В называется левосторонним пределом функции в точке , если для любого числа > 0 найдется такое число > 0, что при всех , удовлетворяющих неравенству , будет выполнено неравенство . Левосторонний предел обозначают следующим образом: = .

Аналогично, число называется правосторонним пределом функции в точке , если для любого числа > 0 существует числосла > 0, такое, что из неравенства следует и С = .

Например, для функции в точке имеет смысл говорить только о левостороннем пределе, а для функции в точке – только о правостороннем.

Можно доказать, что для существования предела функции в точке необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны левосторонний и правосторонний пределы в этой точке.

Если для любого числа существует число > 0, такое, что при всех значениях из -окрестности будет выполнено условие , то предел функции в точке равен бесконечности: .

Если же для любого числа существует число , такое, что при всех , то является пределом функции при , стремящемся к бесконечности: .

Важным частным случаем последнего определения является предел числовой последовательности. Если функция задана на множестве натуральных чисел, то такую функцию называют числовой последовательностью ( = ) , а ее предел – пределом последовательности Таким образом, число является пределом последовательности, если для любого числа существует число , такое, что при всех выполняется неравенство .

Отметим следующие свойства пределов (эти свойства справедливы в том случае, если существуют пределы указанных функций):

1. Если существует, то он единственный.

2. ( постоянное число);

5. ().

Дадим несколько определений, важных для дальнейшего.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если .

Функция называется ограниченной в окрестности точки , если существует число , такое, что при всех из этой окрестности.

Для вычисления пределов важны следующие свойства бесконечно малых величин. Пусть и – бесконечно малые, а – ограниченная функция в окрестности точки . Тогда верны утверждения:

1. – бесконечно малая величина в окрестности точки ;

2. – бесконечно малая величина в окрестности точки ;

3. ─ бесконечно малая величина в окрестности точки ;

4. Если существует , то это равносильно тому, что в окрестности точки , где – бесконечно малая величина в окрестности этой точки;

5. Для монотонно возрастающей функции ( при ) или монотонно убывающей ( при ) в окрестности точки всегда существует , который конечен, если ограничена в окрестности точки .

Рассмотрим две бесконечно малые величины и в окрестности точки . Если , то говорят, что – величина более высокого порядка малости, чем . Записывают это следующим образом:

Если , то и называют эквивалентными бесконечно малыми величинами в окрестности точки , то есть

~ при .

Также следует знать, что величина, обратная бесконечно малой является бесконечно большой, а величина, обратная бесконечно большой является бесконечно малой величиной.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Вычислить предел .

Решение: Очевидно, что числитель дроби при стремится к . Аналогично знаменатель стремится к . Тогда вся дробь будет стремиться к . Таким образом, .

Здесь мы использовали свойства пределов, о которых говорилось выше.

Пример 2. Вычислить предел .

Решение: Очевидно, , а при . Таким образом, дробь будет стремиться к бесконечности, так как знаменатель – бесконечно малая величина, а обратная ей величина – бесконечно большая.

Поскольку числитель в окрестности точки ограничен, получаем: .

Пример 3: Вычислить предел .

Решение: Если подставить в рассматриваемую функцию, то получим нуль в числителе и в знаменателе. Без дополнительных преобразований трудно сказать, к чему будет стремиться подобное выражение. Поэтому такие выражения называют неопределенностью вида . Встречаются также неопределенности вида , , , и другие, для каждой из которых существуют свои способы вычисления пределов, то есть раскрытия неопределенности.

Вернемся к примеру. Разложим числитель на множители:

Рассмотрим , где и – многочлены степени и :

Пусть Разделим числитель и знаменатель почленно на

Нетрудно видеть, что при все слагаемые числителя, кроме последнего, стремятся к нулю, а в знаменателе все слагаемые стремятся к нулю. Таким образом, по аналогии с примером 2.

Если , то , а дробь в знаменателе имеет уже степень числителя большую, чем степень знаменателя и, согласно только что рассмотренному случаю, стремится к бесконечности. Тогда имеем:

так как величина, обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая величина.

Рассмотрим теперь случай Поделив числитель и знаменатель почленно на , получим:

Таким образом,

Рассмотрим два предела: и .

С помощью несложных оценок можно показать, что Вычисление второго предела требует бóльших усилий, но можно доказать, что он равен числу (основанию натурального логарифма): Доказательства можно найти в учебниках по математическому анализу.

В силу важности этих пределов их называют замечательными пределами. Используя замечательные пределы, можно получить следующие результаты:

; ; ;

; .

Используя эти и другие соотношения можно получить таблицу эквивалентных функций при :

1. ~ ,

2. tg ~ ,

3. arcsin ~ ,

4. arctg ~ ,

5 .1-cosx ~ x²/2,

6. ~ ,

7. ~ ,

8. ~ ,

9. ~ .

Бесконечно большой многочлен (при ) эквивалентен своей старшей степени с коэффициентом.

Например, при 3х⁵+2х²–8 ~ 3х⁵.

При вычислении пределов можно использовать эти соотношения эквивалентности, заменяя, например, отношения бесконечно малых (бесконечно больших) на отношения эквивалентных им бесконечно малых (бесконечно больших) величин.

Пример 4. Вычислить предел:

Решение:

Очевидно, что все подкоренные выражения при стремятся к единице, а вторые слагаемые в скобках – к нулю. Поэтому последний предел равен следующему:

Этот предел можно вычислить другим способом – все многочлены в подкоренных выражениях заменить старшими степенями с коэффициентами (используем эквивалентные функции), затем числитель и знаменатель также заменить старшими степенями с коэффициентами. Выглядит это так:

Пример 5. Вычислить предел .

Решение: Подставив в заданную функцию , убеждаемся, что имеем дело с неопределенностью вида . Известно, что если

– корень многочлена , то , где – многочлен степени .

Следовательно, . Проще всего узнать вид многочлена , разделив на . Это можно сделать, выполнив деление «столбиком», как делят числа:

Следовательно, . Тогда, раскладывая на множители разность кубов в знаменателе, получим:

Пример 6. Вычислить предел

Решение: Это неопределенность вида . Домножим и поделим функцию, стоящую под знаком предела, на сопряженную сумму :

В последнем равенстве мы получили деление 5 на бесконечность. Это можно рассмотреть, как умножение 5 на величину, обратную бесконечно большой – т.е. на 0 (бесконечно малую), поэтому получили 0.

Пример 7. Вычислить предел