Однородное уравнение первого порядка

Однородным уравнением первого порядка называется уравнение вида:

. (6)

Для его решения введем новую переменную . Тогда и . Подставляя эти соотношения в (6), получаем: или . Это уравнение с разделяющимися переменными, и оно легко интегрируется. Найдя , получаем искомое решение .

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение: Полагая и , получим:

, или .

Интегрируя обе части последнего уравнения, получим:

.

Для удобства, произвольная постоянная здесь представлена в виде , где . Тогда и окончательно общее решение принимает вид:

.

Пример 3. Решить уравнение: .

Решение: Пусть . Разделим обе части уравнения на :

.

После замены переменной это уравнение приводится к виду:

, или .

Вычислим интеграл в левой части последнего уравнения:

Тогда .

Заметим, что общее решение уравнения можно записать в виде функции, заданной неявно (подставим вместо z):

.