2015-02-14
6210
,
получаем
Окончательно получим следующие формулы для вероятностей состояний:
(k = 0,1,2,..., n), (3.13)
которые называются формулами Эрланга.
Введем обозначение ρ = λ/μ. Преобразуем выражение (3.13) к виду, удобному для вычислений. С этой целью используем ρ и умножим числитель и знаменатель дроби (3.13) на величину 
.
, (3.14)
где P (k, ρ) и R (n, ρ) – табличные функции пуассоновского распределения.
Найдем характеристики классической системы массового обслуживания с отказами.
С одной стороны, вероятность обслуживания заявки Р обс, очевидно, равна вероятности того, что заявка, поступившая в систему, застанет свободным хотя бы один канал:
. (3.15)
С другой стороны, вероятность обслуживания заявки равна относительной пропускной способности системы:
, (3.16)
где λ0 – плотность потока обслуженных заявок (абсолютная пропускная способность СМО), а 
– среднее число занятых каналов. Отсюда
. (3.17)
Выражение для среднего числа занятых каналов можно получить и непосредственно через вероятность Рk:
|
|
|
. (3.18)
Сравнивая (3.17) и (3.18), убеждаемся в том, что
. (3.19)
Вероятность того, что канал занят, будет равна отношению среднего числа занятых каналов к общему числу каналов n:
. (3.20)
Введем в рассмотрение случайную величину Т з.к – время занятости канала, равное длине промежутка времени, начинающегося с момента поступления заявки в канал, до следующего непосредственного момента освобождения канала. Время занятости канала Т з.к по условию распределено по показательному закону с интенсивностью μ. Следовательно, среднее время занятости канала
з.к = М [ Т з.к] = 1/μ.
Временем простоя канала Т п.к называется длина промежутка времени, начинaющегося с момента освобождения канала, до его занятия следующей заявкой. Среднее время простоя канала п.к определяется из следующего выражения, имеющего место для эргодической системы, находящейся в стационарном режиме:
,
т.е. вероятность занятости канала равна отношению среднего времени занятости канала к сумме среднего времени занятости канала и среднего времени простоя канала. Отсюда
.
Вероятность полной загрузки системы, т.е. вероятность того, что все каналы будут заняты:
Аналогичным образом могут быть определены и другие характеристики системы.
