2015-02-14
1344
Постановка задачи. На вход n -канальной СМО подается простейший поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала обозначим μ. Если заявка застала все n каналов занятыми, то она получает отказ (покидает систему не обслуженной). Если заявка застала свободным хотя бы один канал, то она принимается к обслуживанию любым из свободных каналов и обслуживается до конца (заявки «терпеливые»).
Описанная выше система названа нами классической потому, что с рассмотрения такой системы Эрлангом и начала развиваться теория массового обслуживания. Эрланг рассматривал работу такой системы на примере работы автоматического телефонного узла связи. В этом случае поток заявок представляет собой поток вызовов со стороны абонентов. Длительность обслуживания характеризуется длительностью коммутации и длительностью разговора. Число каналов n равняется максимально возможному числу одновременно осуществляемых разговоров.
Анализ работы СМО начнем с рассмотрения возможных состояний системы и составления размеченного графа состояний с указанием интенсивностей потоков, переводящих систему из одного состояния в другое.
Рассмотрим следующее множество состояний системы:
x 0 – все каналы свободны, ни одна заявка не обслуживается;
x 1 – занят ровно один канал (какой – не важно), обслуживается одна заявка;
xk – занято ровно k каналов (каких именно – не важно), обслуживается k заявок;
xn – все n каналов заняты, обслуживается n заявок.
Граф состояния данной СМО с отказами в обслуживании представлен на рис. 3.6.
 |
Рис. 3.6. Граф состояний СМО с отказами в обслуживании
Как и в § 3.3, возможность перескока «через состояние» не рассматривается, т.к. все потоки ординарные. Поясним порядок определения интенсивностей потоков событий на рис. 3.6. Когда система находится в состоянии x 0, на нее действует поток заявок с интенсивностью λ, переводящий систему в состояние x 1. Если система находится в состоянии x 1, то на нее действует уже два потока событий: а) поток заявок с интенсивностью λ, который стремится перевести систему в состояние x 2; б) поток освобождений канала («поток обслуживаний»), который стремится перевести систему в состояние x 0. Интенсивность этого потока равна μ.
Рассмотрим случай, когда система находится в состоянии xk (k = 1, 2,..., n –1). В этом состоянии на систему действует также два потока: а) поток заявок с интенсивностью λ, который стремится перевести систему в состояние xk +1; б) поток освобождений всех занятых каналов с интенсивностью k μ, который стремится перевести систему справа налево в состояние xk –1.
Если система находится в состоянии xn, то на нее действует только один поток событий с интенсивностью n μ, переводящий систему справа налево в состояние xn –1.
Система уравнений имеет следующий вид:
,
............................................
, k = 1,2,…, n –1, (3.10)
............................................
.
Система (3.10) интегрируется при следующих начальных условиях:
Р 0(0) = 1; Рk (0) = 0 (k = 1,2,..., n),
что соответствует случаю, когда система в начальный момент времени t = 0 свободна. Решение системы (3.10) при данных начальных условиях удовлетворяет нормировочному условию
(t ≥ 0). (3.11)
Уравнения (3.10) называются уравнениями Эрланга. Заметим, что (3.10) и (3.11) справедливы и для случая, когда потоки событий не являются простейшими, а представляют собой нестационарные пуассоновские потоки. В этом случае параметры λ = λ(t) и μ = μ(t).
Рассмотрим стационарный режим работы при t → ∞. Такой режим существует (см. § 3.3), т.к. рассматриваемая система эргодична. Поэтому при t → ∞ система (3.10) превращается в систему алгебраических уравнений:
0 = –λ Р 0 + μ Р 1,
.……………..
0 = –(λ + k μ) Рk + λ Рk –1+ (k + 1)μ Рk +1 (k = 1,2,..., n –1),
.…………….
0 = + λ Рn –1 – n μ Рn = 0,
которую нужно решать совместно с (3.11).
Введем обозначение:
ui = –λ Pi –1 + i μ Рi (k = 1,2,..., n),
тогда
u 1 = 0,
……...
uk +1 – uk = 0 (k = 1,2,..., n –1), (3.12)
……...
un = 0.
Анализируя (3.12), убеждаемся в том, что ui = 0. Следовательно,
; 
; 
; 
.
