Процессы гибели и размножения

Для большинства систем массового обслуживания, которые рассмотрены в данном пособии, граф состояний имеет вид, показанный на рис. 3.3. Для этих систем характерно то, что каждое состояние (кроме двух крайних) имеет только два соседних состояния. Крайние состояния имеют только по одному соседнему состоянию.

Таким образом, граф состояний можно представить в виде цепи состояний, соединенных между собой стрелками переходов. Другими словами, из любого состояния х_k (кроме крайних k ¹ 0, k ¹ n) возможен переход только в два соседних состояния х_{k +1} (предыдущее) и х_{k –1}(последующее). Из крайнего левого состояния х ₀ возможен переход только в состояние х ₁, а из крайнего правого состояния х_п – только в состояние х_{п –1}.

Процессы, описываемые с помощью такого графа состояний, в литературе принято называть процессами гибели и размножения. Такое название они получили потому, что впервые были применены в биологии для анализа численности популяций, распространение ожиданий и при исследовании других проблем. Число n может быть как константным, так и бесконечным.

Рис. 3.3. Граф состояний процесса гибели и размножения

Систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний процесса гибели и размножения можно записать в соответствии с представленными в разделе 2 материалами.

,

............................................

, (3.1)

............................................

.

Для интегрирования этой системы дифференциальных уравнений нужно задать начальные условия

Р ₀(0); Р ₁(0),..., Р_n (0); .

Если число состояний n в системе конечно, то для любого момента времени выполняется нормировочное условие

. (3.2)

Иногда рассматривают процесс размножения (чистого размножения), когда переход из состояния в состояние возможен только слева направо. Граф процесса приведен на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Граф процесса размножения

Если переход возможен только справа налево, то такой процесс называют процессом гибели (чистой гибели). Граф процесса представлен на рис. 3.5.

Рис. 3.5. Граф процесса гибели

Для того чтобы написать дифференциальные уравнения для вероятностей состояний процесса размножения, достаточно в системе (3.1) положить все параметры μ _i ≡ 0 (i = 1,2,..., n). Аналогично, если требуется написать дифференциальные уравнения для вероятностей состояний процесса гибели, достаточно в системе (3.1) положить все параметры λ _k ≡ 0 (k = = 1,2,..., n –1).

Рассмотрим случай, когда у процесса гибели и размножения все параметры являются положительными постоянными величинами. Это означает, что величины λ _k, μ _i не зависят от времени, но зависят от индексов. Такой процесс гибели и размножения обладает эргодическими свойствами, т.к. выполняются следующие условия:

а) граф состояний не имеет ни одного состояния без выхода и без входа и ни одной группы состояний без выхода и без входа;

б) все потоки событий, переводящие процесс из состояния в состояние, являются простейшими.

Такой процесс называется простейшим процессом гибели и размножения. Для такого процесса с конечным числом состояний n всегда существует стационарный режим. Для этого режима на основании (3.1) можно записать систему (n +1) однородных алгебраических уравнений:

–λ ₀ Р ₀ + μ₁ Р ₀ = 0,

.…………………

–(λ _k + μ _k) Р_k + λ _kР_{k –1}+ μ _{k +1} Р_{k +1} = 0 (k = 1,2,..., n –1), (3.3)

.………………….

+λ _{n –1} Р_{n –1} – μ _n Р_n = 0.

Для решения этих уравнений введем следующие обозначения:

u_k = –λ _kP_k + μ _{k +1} Р_{k +1} (k = 0,1,..., n –1).

Тогда уравнения (3.3) примут вид:

u ₀ = 0,

.………

u_k – u_{k –1} = 0, (3.4)

………..

– u_{n –1} = 0.

Анализ системы уравнений (3.4) показывает, что имеет место равенство

u_k = 0 (k = 0,1,..., n –1),

следовательно,

(k = 0,1,..., n –1). (3.5)

Таким образом, получаем возможность с помощью рекуррентной формулы (3.5) выразить значение любой вероятности Р_{k +1} через все предыдущие:

(k = 0,1,..., n –1). (3.6)

Найденное выражение для всех вероятностей состояния процесса гибели и размножения зависит от вероятности Р ₀ и параметров потоков. Вероятность Р ₀ можно определить из нормировочного условия (3.2):

,

откуда

. (3.7)

Итак, совокупность формул (3.6) и (3.7) дает возможность определить все вероятности состояний процесса гибели и размножения для конечного числа состояний n.

В случае, когда число состояний не ограничено (n = ∞), статорный режим может не существовать даже при постоянных (не зависящих от времени) параметрах λ _k и μ _i. Это объясняется тем, что могут иметь место условия, при которых нет никаких ограничений на рост популяции и процесс все время будет двигаться вправо.

Для того чтобы нормировочное условие (3.2) выполнялось, достаточно расходимости ряда

Если ряд (3.8) расходится, а ряд

сходится, то существует стационарный режим

Р_k = Р_k (t).

Условие (3.9) всегда выполняется, если, начиная с некоторого k, справедливо неравенство

.

В начале этого параграфа указывалось, что процессы функционирования большинства рассматриваемых СМО можно представлять как процессы гибели и размножения. Из этого следует, что основные соотношения и формулы для этих СМО могут быть получены из формул данного параграфа как различные частные случаи процесса гибели и размножения. Однако для отражения прикладного характера все соотношения и формулы будут выводиться из физических условий работы той или иной системы массового обслуживания. При этом будут широко использоваться общие результаты, полученные для процессов гибели и размножения.