Векторная модель с конечной очередью и неоднородными запросами на число мест в очереди

Постановка задачи. На вход СМО, содержащей N обслуживающих приборов и L мест в очереди, поступает неоднородный входной поток с интенсивностью l. Для определенности будем работать в рамках СМО с ограниченной очередью. При этом характеристики модели будут аналогичны представленным в главе 3. Отличие состоит в следующем.

На обслуживании в СМО может находиться произвольное число заявок, пока не будет исчерпан ресурс, и еще L заявок будет в очереди. Заявки, которые не могут быть приняты немедленно на обслуживание или поставлены в очередь на обслуживание, получают отказ в обслуживании и покидают систему. По окончании процесса обслуживания одной из заявок освобождающиеся приборы вместе с другими свободными приступают к обслуживанию заявки, стоящей на первом месте очереди, или ожидают прихода следующей заявки, если очередь пуста.

На основании изложенного была разработана имитационная статистическая модель (МСО). В качестве аналитической модели (ВМО) с ограниченной очередью предлагается следующая [11]. Описание входного потока соответствует приведенному в главе 3. Состояние ВМО представим в виде вектора:

где j_m – количество заявок в очереди, требующих для своего обслуживания m приборов; K_m – количество заявок в системе, каждая из которых обслуживается m приборами; – количество заявок, находящихся в очереди; – количество заявок в системе, находящихся на обслуживании.

Тогда число свободных () и занятых () приборов в системе определяется как:

Из состояния система может перейти в любое другое состояние . Так как в системе действует l входных потоков (l = q _max – q _min + 1), то из состояния потенциально возможны l прямых переходов. Однако из-за ограниченности ресурсов (N и L) не все эти переходы осуществимы. Пусть ВМО находится в состоянии , и приходит заявка, требующая m приборов. Если m £ n _св()_об, то заявка принимается на обслуживание и система переходит в состояние с интенсивностью l _m, причем

Если же заявка затребует приборов больше, чем имеется свободных, то она встает в очередь при условии, что m £ n _св()_оч, т.е.

Если же места и в очереди заняты, то заявка получает отказ, а СМО остается в состоянии . Интенсивности обслуживания аналогичны описанным в главе 3.

При завершении обслуживания одной из заявок система перейдет в состояние, в котором соответствующая координата имеет значение на единицу меньше, чем в состоянии , т.е.

,

произойдет обратный переход.

На рис. 4.2 представлен пример фрагмента графа ВМО для n = 3, q = = 1–3, P (m) = 1/3, L = 3.

Рис. 4.2. Фрагмент графа переходов ВМО СМО

По графу состояний с нанесенными интенсивностями переходов составляется система алгебраических уравнений, из решения которой находятся вероятности P (), а по последним определяются характеристики СМО. Рассмотрим нахождение Р _отк и t _оч.

На основании сведений, изложенных в главе 3, и особенностей ВМО получим, что

. (4.3)

Определим t _оч. Допустим, что время ожидания начала обслуживания данной заявки попало в элементарный интервал (t, t + d t). Вероятность этой гипотезы приближенно равна f _оч(t)d t, где f _оч(t) – плотность распределения вероятности времени пребывания заявки в очереди. За время пребывания в очереди за этой заявкой образуется очередь, в которой в среднем будет находиться l t заявок. Следовательно, математическое ожидание числа заявок (r), находящихся в очереди, будет определяться по выражению:

где – среднее время ожидания заявки в очереди. Отсюда

. (4.4)

В свою очередь,

. (4.5)

Тогда на основании (4.4) и (4.5) получим

.

В табл. 4.1 приведены расчетные значения Р _отк и при r = l/m = = 0,6; N = 1–2, L = 1–2 для моделей СМО и ВМО.

Таблица 4.1

N, L	P отн ВМО	P отн МСО	ВМО × 10-2	МСО × 10-2
1,1	0,1836	0,1849	3,06	3,09
1,2	0,0993	0,1050	6,61	6,58
2,1	0,0294	0,0301	0,50	0,47
2,2	0,0249	0,0234	2,20	2,21

Проверка адекватности моделей (ВМО и СМО) проводилась на основании критерия Уилкоксона [25], который показал совпадение с точностью не хуже 2 %.

Итак, следует отметить, что предложенная в данном разделе ВМО позволяет рассчитывать характеристики СМО с запросами на случайное число обслуживающих приборов и мест в очереди. Практическая возможность использования ВМО связана с применением пакетов прикладных программ для расчета системы алгебраических уравнений.