В математике скоростью изменения какой-либо функции f называется первая производная этой функции по времени:
.
Другое обозначение производной по времени, используемое еще со времен Ньютона, – точка над символом функции . Производную по координате принято обозначать штрихом в качестве верхнего индекса: . Если нужно указать, по какой именно координате берется производная, то соответствующую координату пишут в виде нижнего индекса: .
В механике скоростью называют производную радиус-вектора (2) по времени. Обозначается скорость обычно латинской буквой (от латинского слова – скорость):
. (3)
Такая скорость называется мгновенной скоростью. Мгновенная скорость – векторная величина. Направлен вектор скорости в ту же сторону, куда направлен вектор перемещения . Единицей измерения скорости является метр-в-секунду (м/с).
Компоненты вектора
Средняя скорость – это отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был пройден:
(4)
Средняя скорость, в отличие от мгновенной скорости, величина скалярная. Для вычисления средней скорости нужно сложить все линии траектории, которую прошло тело, и разделить на прошедшее время. Например, на рис 4 Δs = s13 + s23 + s32. Среднюю скорость нельзя вычислять как среднее арифметическое скоростей тела на отдельных участках пути. Средняя скорость равна среднему арифметическому от всех скоростей тела только в том случае, если тело двигалось с этими скоростями равные промежутки времени.
Иногда вводят в рассмотрение среднюю скорость по перемещению, которая будет вектором, равным отношению перемещения ко времени, за которое оно совершено:
(5)
В этом случае скорость (4) называют средней путевой скоростью, или средней скоростью по пройденному пути. На рис. 4 вектором перемещения будет являться вектор, соединяющий точки 1 и 3 (см. также рис. 5). Если в результате движения тело вернулось в исходную точку, то средняя скорость по перемещению будет равна нулю, а средняя путевая скорость будет отлична от нуля. Средняя путевая скорость будет равна нулю только в том случае, если тело вообще не двигалось с места.
Модуль вектора скорости вычисляется как производная пройденного пути по времени:
. (6)
Рис. 6.
Пройденный путь как интеграл от скорости
Согласно (6), путь ds, пройденный за элементарный промежуток времени dt, равен ds = v(t)dt. Путь, пройденный телом за конечный промежуток времени от t1 до t2, находится интегрированием:
Пройденный путь численно равен площади криволинейной трапеции на графике зависимости скорости от времени (рис. 6).
Если модуль скорости не изменяется с течением времени, то движение называется равномерным. При равномерном движении скорость тела постоянна:
.
Отсюда следует физический смысл скорости: скорость численно равна пути, пройденному за единицу времени.
Применяя понятие равномерного движения, можно сформулировать физический смысл мгновенной скорости: