Закон всемирного тяготения

Закон гравитационного взаимодействия тел в классической механике носит название закона всемирного тяготения. Этот закон был установлен И. Ньютоном на основе анализа законов движения планет Солнечной системы, открытых И. Кеплером. Согласно этому закону, все тела в природе взаимно притягивают друг друга с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

(47)

где G – коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной. Направлена сила вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие тела (рис. 17). Формула (47) дает численное значение равных по величине и противоположно направленных сил и .

Тела, о которых идет речь в соотношении (47), представляют собой, очевидно, материальные точки. Для определения силы взаимодействия тел, которые не могут рассматриваться как материальные точки, их нужно разбить на элементарные объемы ΔV_i, каждый из которых можно было бы принять за материальную точку. Каждый такой объем будет иметь массу Δm_i. Затем, согласно формуле (47), вычисляются силы притяжения, действующие между всеми возможными элементарными массами в обоих телах, и результирующая сила притяжения вычисляется как векторная сумма (суперпозиция) всех элементарных сил. Практически такое суммирование сводится к интегрированию и является очень сложной математической задачей.

Рис. 17.

Гравитационное взаимодействие двух тел (материальных точек)

Коэффициент пропорциональности между силой и ускорением в формуле (31) принимается равным единице. Тем самым определяется единица измерения силы. Коэффициент пропорциональности в формуле (47) уже невозможно приравнять единице, поскольку единицы измерения всех величин уже определены. Поэтому коэффициентом пропорциональности в формуле (47) является не равная единице величина, имеющая размерность и носящая особое название – гравитационная постоянная. Ее значение (с определенной точностью):

G = 6,67545 × 10⁻¹¹ м³/(кг ·с²). (48)

Ее физический смысл можно сформулировать следующим образом: гравитационная постоянная численно равна силе, с которой притягиваются две материальные точки массой 1 кг, находящиеся на расстоянии 1м друг от друга. Как видно, гравитационная сила взаимодействия тел весьма мала. Она имеет существенное значение только при очень больших массах взаимодействующих тел.

Величина гравитационной постоянной не зависит от природы взаимодействующих тел, оно одно и то же для всех материальных тел. Ее значение определяется экспериментально. Первый эксперимент по измерению гравитационной постоянной провел Генри Кавендиш в 1798 г. В своем эксперименте он использовал так называемые крутильные весы (рис. 18).

Два свинцовых шара m (с массой 729 г каждый), прикрепленных к концам легкого коромысла, помещались вблизи симметрично расположенных шаров М (с массой по 158 кг). Коромысло подвешивалось на упругой нити. Верхний конец нити был закреплен в установочной головке, поворотом которой можно было менять расстояние между шарами m и М. Сила притяжения шаров m и М определялась по углу закручивания нити, поскольку по закону Гука этот угол пропорционален силе упругости, которая уравновешивает силу взаимодействия шаров.

Рис. 18.

Схема опыта Г. Кавендиша

Понятие «масса» фигурирует в двух разных законах – во втором законе Ньютона (31) и в законе всемирного тяготения (47). В первом случае она характеризует инертные свойства тела, во втором – гравитационные свойства, то есть способность тел притягиваться друг к другу. В связи с этим возникает вопрос, не следует ли различать инертную массу m_in и массу гравитационную (или тяготеющую) m_g? Ответ на этот вопрос может дать только опыт.

Еще в XVII в. Г. Галилей экспериментально установил, что в поле тяжести Земли все тела падают с одним и тем же ускорением. Из этого экспериментального факта следует равенство инерционной и гравитационной масс. В самом деле, рассмотрим 2 тела с разными массами. Обозначим инерционную и гравитационную массы этих тел как m_1in, m_1g, m_2in, m_2g. Пусть g – ускорение свободного падения, M – масса Земли, R – ее радиус. Тогда можно написать:

Разделив первое уравнение на второе получим:

т. е. инерционные массы пропорциональны гравитационным.