Сила тяжести и вес

Под действием силы притяжения к Земле все тела падают с одинаковым относительно поверхности Земли ускорением, которое называется ускорением свободного падения и обозначается буквой g. Это означает, что в системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело массы m действует сила

P = mg,

называемая силой тяжести. Если высота тела над поверхностью Земли пренебрежительно мала по сравнению с радиусом Земли, то ускорение свободного падения определяется формулой (50), в которой r – радиус Земли, а M – масса Земли. В разных точках поверхности Земного шара ускорение g, вообще говоря, разное. В среднем принимается, что g = 9,81 м/с2.

Когда тело покоится относительно поверхности Земли, сила P уравновешивается реакцией подвеса или опоры FP, удерживающих тело от падения (). По третьему закону Ньютона тело в этом случае действует на подвес или опору с силой , равной , т. е. с силой

Сила G, с которой тело действует на подвес или опору, называется весом тела. Эта сила равна mg лишь в том случае, если тело и опора (или подвес) неподвижны относительно Земли. В случае их движения с некоторым ускорением вес G не будет равен mg. Это можно уяснить на следующем примере. Пусть подвес в виде укрепленной на рамке пружины движется вместе с телом с ускорением (рис. 19). Тогда уравнение движения тела будет иметь вид:

, (51)

где – реакция подвеса, т. е. сила, с которой пружина действует на тело. По третьему закону Ньютона тело действует на пружину с силой, равной , которая по определению представляет собой вес тела в этих условиях. Заменив в (51) реакцию , силой , а силу тяжести – произведением mg, получим:

(52)

Рис. 19.

Движение с ускорением в поле тяжести Земли

Формула (52) определяет вес тела в общем случае. Она справедлива для подвеса или опоры любого вида и любого направления вектора .

Предположим, что тело и подвес движутся в вертикальном направлении (в этом предположении выполнен рис. 19).

Спроектируем (52) на направление отвеса:

G = m(g ± a). (53)

В этом выражении G, g и a суть модули соответствующих векторов. Знак «+» соответствует , направленному вверх, знак «—» соответствует направлению вниз.

Из формулы (53) вытекает, что по модулю вес может быть как больше, так и меньше, чем сила тяжести . При свободном падении рамки с подвесом и сила G, с которой тело действует на подвес, равна нулю. Наступает состояние невесомости. Космический корабль, летящий вокруг Земли с выключенными двигателями, движется, как и свободно падающая рамки, с ускорением g, вследствие чего тела внутри корабля находятся в состоянии невесомости — они не оказывают давления на соприкасающиеся с ними тела.

Отметим, что часто путают силу тяжести и вес тела . Это обусловлено тем, что в случае неподвижной опоры силы и совпадают по величине и по направлению (обе они равны mg). Однако следует помнить, что эти силы приложены к разным телам: приложена к самому телу, приложена к подвесу или опоре, ограничивающим свободное движение тела в поле сил земного тяготения. Кроме того, сила всегда равна mg, независимо от того, движется тело или покоится, сила же веса зависит от ускорения, с которым движутся опора и тело, причем она может быть как больше, так и меньше mg, в частности, в состоянии невесомости она обращается в нуль.

Соотношение (52) между массой и весом тела дает способ сравнения масс тел путем взвешивания – отношение весов тел, определенных в одинаковых условиях (обычно при = 0) в одной и той же точке земной поверхности, равно отношению масс этих тел:

G₁: G₂: G₃: … = m₁: m₂: m₃: ….

Ускорение свободного падения g и сила тяжести Р зависят от широты местности. Кроме того, Р и g зависят также от высоты над уровнем моря – с удалением от центра Земли они уменьшаются.

На основании понятия веса тела вводится внесистемная единица силы – килограмм-сила (русское обозначение: кгс или кГ; международное: kgf или kgF). Килограмм-сила – это такая сила, которая — телу массой 1 кг сообщает ускорение 9,80665 м/с² (т. н. нормальное ускорение свободного падения). Другими словами, килограмм-сила – это вес тела массой 1 кг в земных условиях.

При изучении движения тел относительно земной поверхности нужно иметь в виду, что система отсчета, связанная с Землей, не инерциальна. Ускорение, соответствующее движению по орбите, гораздо меньше, чем ускорение, связанное с суточным вращением Земли. Поэтому с достаточной точностью можно считать, что система отсчета, связанная с Землей, вращается относительно инерциальных систем с постоянной угловой скоростью ω. Следовательно, рассматривая движение тел относительно Земли, нужно вводить центробежную силу инерции

f _in = mω²r,

где т —масса тела, r —расстояние тела от земной оси (рис. 20 ).

Рис. 20.

Направления силы земного тяготения и силы тяжести для тела на поверхности Земли

Ограничиваясь случаями, когда высота тел над поверхностью Земли невелика, можно положить r равным Rз * cosφ (Rз — радиус Земли, ω— широта местности).

Тогда выражение для центробежной силы инерции примет вид

f_ln = mω²Rз*cosφ. (54)

Наблюдаемое относительно Земли ускорение свободного падения тел g будет обусловлено действием двух сил: f_g, с которой тело притягивается Землей, и f_in. Peзультирующая этих двух сил

есть сила тяжести. Поскольку сила сообщает телу с массой т ускорение , справедливо следующее соотношение:

(55)

Отличие силы тяжести Р от силы притяжения к Земле f_g невелико, так как центробежная сила инерции значительно меньше, чем f_g. Так, для массы в 1 кг выражение mω²Rз приблизительно равно 0,035 Н (ω равна 2π, деленным на 86 400 сек, R₃ составляет примерно 6400 км), в то время как f_g равна приблизительно 9,8 Н, т. е. почти в 300 раз больше, чем максимальное значение центробежной силы инерции (наблюдающееся на экваторе).

Направление совпадает с направлением нити, натянутой грузом, которое называется направлением отвеса. Сила направлена к центру Земли. Следовательно, нить отвеса направлена к центру Земли только на полюсах и на экваторе, отклоняясь на промежуточных широтах от этого направления.

Разность f_g – Р равна нулю на полюсах и достигает максимума, равного 0,3% силы f_g на экваторе. Из-за сплюснутости земного шара у полюсов сила f_g сама по себе несколько варьирует с широтой, будучи на экваторе примерно на 0,2% меньше, чем у полюсов. В итоге ускорение свободного падения g меняется с широтой в пределах от 9,780 м/сек² на экваторе до 9,832 м/сек.² на полюсах. Значение g = 9,80665 м/сек² принято в качестве нормального (стандартного) значения.

3.14.Законы движения планет Кеплера

Основанием для установления закона всемирного тяготения Ньютону послужили три открытых Кеплером закона движения планет:

1. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

2. Радиус-вектор планеты описывает за равные времена одинаковые площади.

3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Первый закон Кеплера указывает на то, что планеты движутся в поле центральных сил. Траектория тела в поле центральных сил представляет собой плоскую кривую — гиперболу, параболу или эллипс, — фокус которой совпадает с центром сил.

Принимая для простоты, что орбиты являются не эллипсами, а окружностями (это допустимо, так как практически орбиты всех планет мало отличаются от окружностей), ускорение, с которым движется планета, можно написать в виде

где v — скорость движения планеты, r — радиус орбиты. Заменим v через 2πr/T (T — период обращения планеты вокруг Солнца):

На основании последнего выражения отношение сил, действующих на планеты со стороны Солнца, запишется следующим образом:

Заменяя в соответствии с третьим законом Кеплера отношение квадратов периодов обращения отношением кубов радиусов орбит, получим:

Таким образом, из третьего закона Кеплера следует, что сила, с которой планета притягивается к Солнцу, пропорциональна массе планеты и обратно пропорциональна квадрату ее расстояния до Солнца.

Предположив, что коэффициент пропорциональности k в свою очередь пропорционален массе Солнца Мс, Ньютон пришел к уже знакомой нам формуле

выражающей закон всемирного тяготения.

Второй закон Кеплера является следствием закона сохранения момента импульса. Из рис. 21 видно, что описанная радиусом-вектором за время dt площадь dS равна половине произведения основания треугольника vdt на высоту треугольника l, которая совпадает с плечом импульса планеты тv по отношению к Солнцу:

(L — момент импульса планеты, равный mvl).

Выражение называется секториальной скоростью.

Таким образом,

Момент импульса в центральном поле сил остается постоянным, следовательно, и секториальная скорость планеты должна быть постоянной. Это означает, что за равные промежутки времени радиус-вектор будет описывать одинаковые площади.