Безопасность и быстродействие криптосистемы

RSA

Безопасность алгоритма RSA базируется на трудности решения задачи факторизации больших чисел, являющихся произведениями двух больших простых чисел. Действительно, криптостойкость алгоритма RSA определяется тем, что после формирования секретного ключа k_в и открытого ключа К_в "стираются" значения простых чисел Р и Q, и тогда исключительно трудно определить секретный ключ k_в по открытому ключу К_в, поскольку для этого необходимо решить задачу нахождения делителей Р и Q модуля N.

Разложение величины N на простые множители Р и Q позволяет вычислить функцию j (N) = (P –1)(Q –1) и затем определить секретное значение k_в, используя уравнение

К_в * k_в º1 (mod j (N)).

Другим возможным способом криптоанализа алгоритма RSA является непосредственное вычисление или подбор значения функции

j (N) = (P –1)(Q –1). Если установлено значение j (n), то сомножители P и Q вычисляются достаточно просто. В самом деле, пусть

x = P + Q = N +1 – j (N),

y = (P – Q)² = (Р + Q)² – 4*N.

Зная j (N), можно определить x и затем y; зная x и y, можно определить числа Р и Q из следующих соотношений:

P = 1/2 (x + ), Q = 1/2 (x – ).

Однако эта атака не проще задачи факторизации модуля N [28].

Задача факторизации является трудно разрешимой задачей для больших значений модуля N.

Сначала авторы алгоритма RSA предлагали для вычисления модуля N выбирать простые числа P и Q случайным образом, по 50 десятичных разрядов каждое. Считалось, что такие большие числа N очень трудно разложить на простые множители. Один из авторов алгоритма RSA, P. Pайвест, полагал, что разложение на простые множители числа из почти 130 десятичных цифр, приведенного в их публикации, потребует более 40 квадриллионов лет машинного времени. Однако этот прогноз не оправдался из-за сравнительно быстрого прогресса компьютеров и их вычислительной мощности, а также улучшения алгоритмов факторизации.

Ряд алгоритмов факторизации приведен в [45]. Один из наиболее быстрых алгоритмов, известных в настоящее время, алгоритм NFS (Number Field Sieve) может выполнить факторизацию большого числа N (с числом десятичных разрядов больше 120) за число шагов, оцениваемых величиной

.

В 1994 г. было факторизовано число со 129 десятичными цифрами. Это удалось осуществить математикам А.Ленстра и М.Манасси посредством организации распределенных вычислений на 1600 компьютерах, объединенных сетью, в течение восьми месяцев. По мнению А.Ленстра и М.Манасси, их работа компрометирует криптосистемы RSA и создает большую угрозу их дальнейшим применениям. Теперь разработчикам криптоалгоритмов с открытым ключом на базе RSA приходится избегать применения чисел длиной менее 200 десятичных разрядов. Самые последние публикации предлагают применять для этого числа длиной не менее 250 – 300 десятичных разрядов.

Была сделана попытка расчета оценок безопасных длин ключей асимметричных криптосистем на ближайшие 20 лет исходя из прогноза развития компьютеров и их вычислительной мощности, а также возможного совершенствования алгоритмов факторизации. Эти оценки (табл.4.1.) даны для трех групп пользователей (индивидуальных пользователей, корпораций и государственных организаций), в соответствии с различием требований к их информационной безопасности. Конечно, данные оценки следует рассматривать как сугубо приблизительные, как возможную тенденцию изменений безопасных длин ключей асимметричных криптосистем со временем.

Таблица 4.1