double arrow

Решение краевой задачи


Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения при условиях и .

При значениях параметров

Для решения краевой задачи имеется встроенная функция sbval, реализующая метод стрельб и позволяющая свести краевую задачу к задаче Коши. Функция sbval имеет следующие параметры:

· v– вектор, содержащий начальные приближения для недостающих начальных условий,

· xmin, xmax – границы интервала, на котором ищется решение,

· D(x,y) – вектор–функция, содержащий правые части системы дифференциальных уравнений первого порядка, эквивалентной исходному уравнению, размер вектора n совпадает со степенью старшей производной дифференциального уравнения

· load(xmin,v) – вектор–функция, элементы которой соответствуют n значениям функций на левой границе интервала. Часть этих значений известна, а для части заданы начальные приближения в векторе v. Их уточненные значения будут найдены в процессе вычисления

· score(xmax,y) – вектор–функция, имеющая то же число элементов, что и v. Каждое значение является разностью между начальными значениями в конечной точке интервала и соответствующей оценки для решения. Этот вектор показывает, на сколько близко найденное решение к истинному.

Наша задача сводится к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка:

Поэтому функция D имеет вид

Задаем граничные условия:

Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка содержит два начальных условия. Нам известно только одно. Начальное приближение для недостающего значения задаем в векторе v, который в нашем случае состоит только из одного элемента. Несмотря на это, индекс о должен быть обязательно указан, чтобы подчеркнуть векторный характер этой величины:

На левой границе интервала нам известно значение и задано начальное приближение для . Это значение записано в . Задаем вектор-функцию load. Ее нулевой элемент – начальное значение для , первый – для .

Теперь, когда нам стало известно недостающее начальное условие в задаче Коши, можно воспользоваться, например, функцией rkfixed


Сейчас читают про: