Введение. Аппроксимация функций

Лекция 7

Аппроксимация функций

Введение

Когда обрабатывается выборка экспериментальных данных, то они, чаще всего, представляются в виде массива, состоящего из пар чисел (x_i,y_i). Поэтому возникает задача аппроксимации дискретной зависимости y(x_i) непрерывной функцией f(x).

Аппроксимацией (приближением) функции называется нахождение такой функции (аппроксимирующей функции), которая была бы близка заданной.

Функция f(x), в зависимости от специфики задачи, может отвечать различным требованиям.

· Функция f(x) должна проходить через точки (x_i,y_i), т. е. f(x_i)=y_i,i=1...n. В этом случае говорят об интерполяции данных функцией f(x) во внутренних точках между x_i, или экстраполяции за пределами интервала, содержащего все x_i.

· Функция f(x) должна некоторым образом (например, в виде определенной аналитической зависимости) приближать y(x_i), не обязательно проходя через точки (x_i,y_i). Такова постановка задачи регрессии, которую во многих случаях также можно назвать сглаживанием данных.

· Функция f(x) должна приближать экспериментальную зависимость y(x_i), учитывая, к тому же, что данные (x_i,y_i) получены с некоторой погрешностью, выражающей шумовую компоненту измерений. При этом функция f(x), с помощью того или иного алгоритма уменьшает погрешность, присутствующую в данных (x_i,y_i). Такого типа задачи называют задачами фильтрации. Сглаживание - частный случай фильтрации.

Критерии близости функций и могут быть различные.

В том случае, когда приближение строится на дискретном наборе точек, аппроксимацию называют точечной или дискретной.

В том случае, когда аппроксимация проводится на непрерывном множестве точек (отрезке), аппроксимация называется непрерывной или интегральной. Примером такой аппроксимации может служить разложение функции в ряд Тейлора, то есть замена некоторой функции степенным многочленом.

Наиболее часто встречающим видом точечной аппроксимации является интерполяция (в широком смысле).

Пусть задан дискретный набор точек , называемых узлами интерполяции, причем среди этих точек нет совпадающих, а также значения функции в этих точках. Требуется построить функцию , проходящую через все заданные узлы. Таким образом, критерием близости функции является .

В качестве функции обычно выбирается полином, который называют интерполяционным полиномом.

В том случае, когда полином един для всей области интерполяции, говорят, что интерполяция глобальная.

В тех случаях, когда между различными узлами полиномы различны, говорят о кусочной или локальной интерполяции.

Найдя интерполяционный полином, мы можем вычислить значения функции между узлами (провести интерполяцию в узком смысле слова), а также определить значение функции даже за пределами заданного интервала (провести экстраполяцию).

Различные виды построения аппроксимирующей зависимости f(x) иллюстрирует рис. 1. На нем исходные данные обозначены кружками, интерполяция отрезками прямых линий - пунктиром, линейная регрессия - наклонной прямой линией, а фильтрация - жирной гладкой кривой.

Рис. 1. Виды построения аппроксимирующей зависимости