Системы счисления. Коды

На базе триггеров строят различные пересчетные схемы, состояние которых в определенном коде отображает число импульсов, поступивших на вход. На практике могут использоваться различные коды в зависимости от принятой схемы счисления.

1. Десятичная система. Относится к позиционным системам, в которых значения чисел зависят не только от их цифрового выражения, но и от положения числа в многоразрядном коде. Любое число a в десятичной системе можно представить следующим образом:

Здесь 10 — основание системы счисления, m = n + 1 — число разрядов числа, a _n = 0,1,2,...,9 — разрядные коэффициенты.

Единица разряда числа в 10 раз больше единицы младшего разряда, стоящего справа.

Число 1902 в десятичной системе записывается так:

При этом пишутся только значения разрядных коэффициентов a _i опуская показатели основания системы.

Понятно, что для реализации одного разряда десятичный счетчик должен иметь 10 возможных состояний, каждое из которых соответствует одному из значений разряда 0–9.

2. Двоичная система. Эго тоже позиционная система счисления с основанием 2, в связи с чем разрядные коэффициенты могут иметь только два возможных значения: 0 или 1. Простая техническая реализация этого условия предопределили широкое использование двоичной системы в электронике и вычислительной технике. В этой системе единица разряда числа в 2 раза больше единицы соседнего младшего разряда.

Число 7 в двоичной системе записывается следующим образом:

Каждый разряд двоичного кода технически реализуется при помощи одного триггера. Два возможных состояния триггера соответствуют двум возможным значениям разрядного коэффициента.

3. Двоично-десятичная система. Является компромиссом между двоичной и десятичной системами. В этой системе расположение десятичных разрядов сохраняется, но каждый десятичный разряд отображается в двоичном коде. Например, десятичное число 902 в двоично-десятичном коде выглядит следующим образом:

Для отображения одного десятичного разряда необходимо 4 двоичных разряда. Используются и непозиционные системы счисления. В этом смысле представляет интерес код Джонсона. В этом коде для отображения одного десятичного разряда надо не 10 (как в десятичной), а 5 триггеров, причем расшифровка состояния разряда производится по состоянию только 2 из 5 триггеров. В этом коде при счете за каждым входным импульсом меняется состояние только одного триггера, что позволяет увеличить скорость счета. Ниже приведено значение кода Джонсона для 10 значащих десятичных цифр:

Цифровое выражение числа в какой-либо системе счисления называют кодом числа. Коды, следовательно, могут быть двоичные, двоично-десятичные, десятичные и т.д.

В вычислительной технике и микропроцессорной электронике используют только позиционные коды. Обычно двоичные коды делятся на группы из 8 разрядов, называемых битами. Один двоичный разряд называют битом (binary digit), т.к. он несет в себе единицу информации. Для обозначения знака числа в вычислительной технике слева от двоичного кода добавляют знаковый разряд, значение которого равно 0 для положительных чисел или равно 1 для отрицательных чисел. Поэтому десятичное число +6 в двоичной системе с учетом знака выглядит так: 0.110, а число –6 — 1.110.

Кроме обычных прямых кодов используют инверсные (обратные) и дополнительные коды. Инверсные коды образуются из прямых. Для положительных чисел прямые и обратные коды совпадают. Для отрицательных чисел все разряды модуля (кроме знакового разряда) прямого кода инвертируются.

Дополнительный код — это такой код, сумма которого с прямым кодом равна единице разряда, следующего за старшим разрядом кода. Например, дополнением 8 в десятичной системе является 2. Для отрицательных чисел дополнительный получается прибавлением 1 к обратному коду.

Наличие дополнительных кодов позволяет заменить вычитание кода сложением с дополнительным кодом вычитаемого.