Поясним правила сложения на примере. Имеются следующие данные о производительности ткачей за час работы.
Исчислим:
1) групповые дисперсии;
2) среднюю из групповой дисперсии;
3) межгрупповую дисперсию;
4) общую дисперсию.
1. Для расчета групповых дисперсий исчислим среднее по каждой группе:
X1 = = 15 т.; X2 = = 21 т.
Подставив полученные значения в формулу, получим:
Таблица
Табельный номер ткача | Изготовлено ткани трехстаночниками за 1 час (х) | х –хi | (х – хi)2 | Табельный номер ткача | Изготовлено ткани четырехстаночникамм за 1 час (х) | х – хi | (х – хi)2 |
–2 | –3 | ||||||
–1 | –2 | ||||||
–1 | |||||||
Итого |
2. Рассчитаем среднюю из групповых (частных) дисперсий:
3. Исчислим межгрупповую дисперсию. Для этого предварительно определим общую среднюю как среднюю взвешенную из групповых средних:
Затем рассчитаем межгрупповую дисперсию:
d2 = 18 м2.
4. Исчислим общую дисперсию по правилу сложения дисперсии:
2 = i + d = 3,16 + 9 = 12,16.
Проверим полученный результат, исчислив общую дисперсию обычным способом:
Расчет обычным способом привел к аналогичному результату, но оказался более трудоемким.
СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ
1) уменьшение или увеличение весов (частот) варьирующего признака в определенное число раз дисперсии не изменяет;
2) уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину (А) дисперсии не изменяет;
3) уменьшение или увеличение каждого значения признака в какое-то число раз (К) соответственно уменьшает или увеличивает дисперсию в (К2) раз, а среднее квадратическое отклонение – в (К) раз;
4) дисперсия признака относительно произвольной величины всегда больше дисперсии относительно средней арифметической на квадрат разности средней и произвольной величинами:
Если число А равно нулю, то приходим к следующему равенству:
т.е. дисперсия признака равна разности между квадратом значения признака и квадратом средней. Каждое свойство при расчете дисперсии может быть применено самостоятельно или в сочетании с другим.
Ø Среднее квадратическое отклонение (s) представляет собой корень квадратный, извлеченный из дисперсии. Различают простое и взвешенное среднее квадратическое отклонение.
Простое (невзвешенное) среднее квадратическое отклонение определяется по формуле
Взвешенное среднее квадратическое отклонение определяется по формуле