Резервирование с дробной кратностью

Существуют технические системы, часто называемые мажоритарными, с

дробной кратностью резервирования де т — число резервных эле-

ментов, п — общее число элементов.

Мажоритарная система будет работоспособной в течение времени t (собы­тие А) при отказе не более чем т элементов. Пусть A_t — событие, состоя­щее е отказе любых i (0 < г < т) элементов за время t. Тогда

Событие А/ произойдет, если откажут любые i элементов, а остальные n-i элементов останутся работоспособными. Вероятность этого события выража­ется формулой Бернулли:

Поскольку события А, попарно несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

Таким образом, вероятность безотказной работы мажоритарной системы при условии, что все элементы имеют одинаковую надежность, равна т

(6.11)

В частности, при т = 0 получаем основное соединение элементов, для кото­рого при m-n -1 —резервное соединение элементов, для ко­торого P_c(t) = I -Qⁿ(t). При т = 1 получаем систему, отказ которой наступа­ет при отказе двух любых ее элементов. В этом случае

Формулу для вероятности безотказной работы символически можно предста­вить следующим образом:

Справедливо также рекуррентное соотношение, выражающее вероятность безотказной работы мажоритарной системы P_c(t) = P_c(t,n,m) через вероятно­сти аналогичной системы меньшей размерности:

Определим интенсивность отказа мажоритарной системы и исследуем ее свойства.

Так как плотность распределения то, используя формулу (6.11), получим:

Преобразуем это выражение:

Найдем теперь интенсивность отказа мажоритарной системы:

ИЛИ

Вычислим, во сколько раз интенсивность отказов системы больше интенсив­ности отказов одного элемента:

Рассмотрим случай наличия резерва (т > 1). Тогда в начальный момент времени t= 0 получим а при то имеет место равенство:

Таким образом, наличие резерва приводит к изменению отношения интен­сивности отказов системы к интенсивности отказов элемента от нуля до по­стоянной величины, равной количеству основных элементов системы (п-т).

ПРИМЕР 6.2. Пусть система состоит из трех одинаковых устройств. При этом ее отказ наступает при отказе любых двух или всех трех устройств. В данном случае имеет место мажоритарное резервирование с кратностью 1/2, т. е. одно резервное устройство и два основных. Необходимо определить показатели надежности Р_с (t), , предполагая, что интенсивности от­каза постоянны.

Решение. Воспользуемся формулой (6.11). В нашем случае т = 1, и = 3. Тогда

Сравним надежность мажоритарной и нерезервированной системы. Для этого решим неравенство:

Отсюда следует, что P(t)> 0,5. Таким образом, мажоритарное резервирова­ние позволяет повысить надежность системы при условии P(t) > 0,5.

Для постоянных интенсивностей отказов и, значит,

На рис. 6.4 приведены зависимости вероятности безотказной работы нерезер­вированной и резервированной систем при = 0,01 час^-1.

Рис. 6.4. Зависимости вероятности безотказной работы системы от времени

Из рисунка видно, что P_c(t) > P(t), если P(t) > 0,5.

Вычислим среднее время безотказной работы системы:

Результат вычислений показал, что среднее время безотказной работы систе­мы с кратностью резервирования 1/2 ниже, чем нерезервированной.

Вычислим интенсивность отказа:

График этой функции показан на рис. 6.5.

График подтверждает приведенные ранее свойства интенсивности отказов мажоритарной системы. В частности , с течением времени приближает­ся к

Рис. 6.5. Зависимости интенсивности отказов мажоритарной системы от времени