Надежность резервированных систем, защищенных от одного отказа

Получим значения показателей надежности некоторых простых, но важных в практическом отношении резервированных систем, отказ которых наступает при отказе двух элементов системы. В качестве таких систем могут быть дублированные системы с постоянно включенным резервом (рис. 6.13, а) и резервом замещением (.рис. 6.13, б), мажоритарные системы кратности 1/2 (рис. 6.13, в) и т. п.

Рис. 6.13. Структурные схемы систем, защищенных от одного отказа

Приведенные здесь системы, а также другие системы, защищенные от одного отказа, будем рассматривать совместно. Для расчета надежности таких сис­тем применим два метода. Первый метод основан на классических теоремах теории вероятностей, а второй использует теорию марковских процессов.

Сначала предположим, что система является невосстанавливаемой. Граф со­стояний представлен на рис. 6.14.

Рис. 6.14. Граф состояний невосстанавливаемой системы, защищенной от одного отказа.

На рисунке приняты обозначения:

□ — интенсивность перехода с нулевого на первый уровень графа;

□ ' — интенсивность перехода с первого на второй уровень графа.

Система проработает безотказно в течение времени t, если до момента t первый элемент не откажет. Вероятность этого события равна Сис­тема также проработает безотказно в течение времени t, если первый эле­мент откажет в любой момент времени а в течение времени больше не произойдет отказов. По формуле полной вероятности вероятность этого события равна

Если , то

а если , то

Поскольку P(t) = Р\+ р₂, то вероятность безотказной работы системы, за­щищенной от одного отказа, определяется формулой:

(6.24)

Средняя наработка системы до отказа очевидно равна

(6.25)

Результаты расчетов показателей надежности по формулам (6.24) и (6.25) для трех схем, изображенных на рис. 6.13, приведены в табл. 6.2.

ПРИМЕР 6.5. Требуется сравнить надежность резервированных невосста- навливаемых систем, представленных на рис. 6.13. Интенсивности отказов элементов одинаковы и равны = 0,001 час^-1.

Решение. На основе табл. 6.2 получим значения вероятности безотказной работы, когда t изменяется от 0 до 1000 час. Результаты сведены в табл. 6.3.

Таблица 6.2. Показатели надежности невосстанавливаемых систем, защищенных от одного отказа

Вид резерва				P(t)
Постоянно включенный	2
Замещением
С дробной кратностью	3

Таблица 6.3. Значения вероятности безотказной работы для невосстанавливаемых систем,защищенных от одного отказа

t, час	Постоянный резерв	Резерв замещением	Мажоритарная система
	1,000	1,000	1,000
	0,991	0,995	0,975
	0,967	0,982	0,913
	0,933	0,963	0,833
	0,891	- 0,938	0,746
	0,845	0,910	0,657
	0,796	0,878	0,573
	0,747	0,844	0,495
	0,697	0,809	0,424
	0,648	0,772	0,361
	0,600	0,736	0,306

Соответствующая графическая иллюстрация приведена на рис. 6.15. Кривая 1 отвечает системе с постоянно включенным резервом, 2 — системе с резервом замещением, 3 — мажоритарной системе.

Резерв замещением обеспечивает наибольшую надежность системы по срав­нению с другими видами резервирования, при этом для трех рассмотренных систем наблюдается существенное различие по критерию P(t).

Среднее время безотказной работы равно:

□ для постоянно включенного резерва Т₁ =1500 час;

□ для резерва замещением Т₁ = 2000 час;

□ для мажоритарной системы Т₁ = 833 час.

Таким образом, из трех рассмотренных систем мажоритарная система имеет самую низкую надежность по вероятности безотказной работы и, что естест­венно, по среднему времени безотказной работы.

Рис. 6.15. Вероятность безотказной работы для трех схем резервирования без восстановления

Теперь предположим, что система восстанавливаемая, и — интенсивность восстановления. Граф состояний показан на рис. 6.16.

Обозначим через p_t (t) — вероятность пребывания системы в момент време­ни t в состоянии Тогда для исправных состояний имеет место сис­тема дифференциальных уравнений Колмогорова:

Считая, что в момент времени система исправна, т. е. получим в преобразовании Лапласа

Или

Рис. 6.16.Ораф состояний восстанавливаемой системы, защищенной от одного отказа

Решение этой системы уравнений дается равенствами

Где -главный определитель системы. Отсюда следует, что преобразование Лапласа вероятности безот­казной работы имеет вид

Представим полученную дробь в виде суммы простейших дробей. Полагая , найдем корни знаменателя. Тогда

где коэффициенты А₁ и А₂ определяютс я из системы уравнений

Откуда

Переходя от функции P(z) к оригиналу, получим окончательное выражение для вероятности безотказной работы системы:

(6.26)

Вычислим среднюю наработку до первого отказа системы

(6.27)

Рассматриваемая система является обобщением систем, защищенных от од­ного отказа, со структурными схемами, изображенными на рис. 6.13. Для этих систем в табл. 6.4 приведены значения интенсивностей переходов графа состояний и выражение для среднего времени безотказной работы.

Таблица 6.4. Средняя наработка до отказа восстанавливаемых систем защищенных от одного отказа

Вид резерва		’
Постоянно включенный	2
Замещением
С дробной кратностью	3	2

В табл. 6.5 содержатся коэффициенты и стоящие в выражении ве­роятности безотказной работы (6.26).

ПРИМЕР 6.6. Требуется сравнить надежность резервированных восста­навливаемых систем, представленных на рис. 6.13. Исходные данные: А, = 0,001 час^-1, = 0,04 час^-1.

Решение. В соответствии с табл. 6.4 рассчитаем среднее время безотказной работы каждой из трех систем:

□ для постоянно включенного резерва =21500 час (рис. 6.13, а);

□ для резерва замещением = 42000 час (рис. 6.13, б);

□ для мажоритарной системы = 7500 час (рис. 6.13, в).

В соответствии с табл. 6.5 рассчитаем вероятность безотказной работы каж­дой из трех систем, и результаты расчетов запишем в табл. 6.6.

Таблица 6.6. Значения вероятности безотказной работы восстанавливаемых систем, защищенных от одного отказа

t, час	Постоянный резерв	Резерв замещением	Мажоритарная система
	1,000	1,000	1,000
	0,956	0.977	0,877
	0,912	0,954	0,768
	0,871	0,932	0,672
	0,831	0,910	0,587
	0,793	0,888	0,514
	0,757	0,867	0,450
	0,723	0,847	0,393
	0,690	0,827	0,344
	0,658	0,807	0,301
	0,628	0,788	0,263

Расчеты проведены на интервале от 0 до 10 ООО час. Иллюстрация соответствующих графиков показана на рис. 6.17:

□ кривая 1 — для постоянно включенного резерва;

□ кривая 2 — для резерва замещением;

□ кривая 3 — для мажоритарной системы.

Рис. 6.17. Вероятность безотказной работы для трех схем резервирования при наличии восстановления

Характер графиков для систем с восстановлением несколько отличается от графиков невосстанавливаемых систем: во-первых, P(t) на рис. 6.15 имеет при t = 0 касательную, параллельную оси абсцисс, а на рис. 6.17 это свойство отсутствует; во-вторых, восстановление обеспечивает примерно одинаковый уровень надежности, но в течение намного (в 10 раз) большего времени.

В то же время видна и значительная разница как в средней наработке, так и в вероятности безотказной работы. Наибольшую надежность дает резервиро­вание замещением, а наименьшую — резервирование с дробной кратностью.

ПРИМ ЕР 6.7. Требуется сравнить надежность систем при отсутствии и на­личии восстановления. Оценить выигрыш в надежности от восстановления.

Решение. Рассмотрим системы, представленные на рис. 6.13, и для каждой из них вычислим отношение P(t) восстанавливаемой к P(t) невосстанавливаемой системы. Эти отношение будем называть выигрышем от восстановления W(t). Для этой цели воспользуемся табл. 6.2 и 6.5. Результаты расчетов по­местим в табл. 6.7.

Таблица 6.7. Выигрыш от восстановления по вероятности безотказной работы систем, защищенных от одного отказа

t, час	Постоянный резерв	Резерв замещением	Мажоритарная система
	1,000	1,000	1,000
	1,006	1,003	1,015
	1,026	1,014	1,069
	1,058	1,032	1,156
	1,102	1,056	1,275
	1,157	1,087	1,427
	1,222	1,123	1,615
	, 1,298	1,166	1,846
	1,384	1,214	2,124
	1,482	1,268	2,460
	1,591	1,328	2,863

Безусловно, что с течением времени величина выигрыша W(t) увеличивает­ся. Но, кроме того, расчеты и рис. 6.18 показывают, что наибольший выиг­рыш восстановление дает для мажоритарной системы (кривая 3), а наимень­ший — для резервирования замещением (кривая 2).

Таким образом, чем более надежной является система, тем меньший выиг­рыш для нее оказывают восстановительные мероприятия.