Резерв замещением

Структурная схема системы приведена на рис. 6.6. Отказ системы наступает при отказе нулевого элемента, затем первого, второго и г. д., т. е. всех (от +1) элементов.

Рис. 6.6. Резервированная система с резервом замещением

Это значит, что общее время до отказа системы равно сумме времен до отказа

Элементов Из теории вероятностей известно, что плотность суммы независимых случайных величин равна свертке плотностей слагаемых, поэтому

Определим вероятность безотказной работы системы в течение времени t. Пусть сначала т= 1. Система проработает безотказно в течение времени t при наступлении одного из двух несовместных событий:

О А — элемент с номером 0 проработает безотказно в течение времени (;

О В — элемент с номером 0 откажет в некоторый момент времени x<t, а элемент с номером 1 проработает безотказно в течение оставшегося времени (t-x).

Вероятность события А равна Вероятность события В, полученная по

формуле полной вероятности, По теореме

сложения вероятностей получим:

Эта формула обобщается на систему, содержащую произвольное число элементов:

или

(6.12)

На практике в большинстве случаев резервирование замещением осуществляется однотипными системами, когда основная система и все резервные равнонадежны. В этом случае из формулы (6.12) следует, что

Где — плотность распределения времени безотказной работы,

кратная свертка плотностей, P(t)— вероятность безотказной работы каждой системы.

Преобразуем полученное выражение, используя соотношение

Тогда

Таким образом,

Получим формулу для вероятности безотказной работы при условии, что интенсивность отказов , является величиной постоянной. Так как сумма случайные вечичин из (т+ 1)-го слагаемого, каждое из которых имеет экспоненциальное распределение с параметром , подчинена распределению Эрланга с параметрами (см. разд. 2.4), то