Надежность систем

Основными видами структурного резервирования являются общее и раздель­ное (поэлементное) при постоянно включенном резерве и по способу заме­щения. Метсд резервирования, когда резервируется вся система в целом, на­зывается общим, а в случае, когда резервируются отдельные элементы систе­мы, называется раздельным. Структурные схемы этих видов резервирования (схемы расчета надежности) приведены на рис. 6.8—6.11. На рисунках при­няты следующие обозначения: п — число элементов нерезервированной сис­темы, т — число резервных систем.

Рис. 6.8. Общее резервирование с постоянно включенным резервом

Рис. 6.9. Общее резервирование замещением

Рис. 6.10. Раздельное (поэлементное) резервированbе с постоянно включенным резервом

Рис. 6.11. Раздельное резервирование замещением

Найдем зависимость времени безотказной работы системы от времени рабо­ты ее элементов. Пусть — случайное время до отказа элемента, стоящего

в i-м ряду и j -й колонке, т. е. элемента с номером (i,j), Х_с — случайное время до отказа системы. Получим выражения, связывающие Х_с с Ху для различных схем расчета надежности.

При общем резервировании с постоянно включенным резервом (см. рис. 6.8) элементы /-го ряда (/ = 0,1, 2,..., т) образуют последовательное соединение элементов, поэтому время до итказа подсистемы, составлен­ной из элементов i -го ряда, равно Так как вся система представляет собой параллельное соединение этих подсистем, то время до отказа системы равно отсюда

(6.16)

□ При общем резервировании замещением (см. рис. 6.9) элементы i -го ряда (i ' = 0,1, 2,..., т) образуют последовательное соединение элементов, по­этому время до отказа подсистемы, составленной из элементов i -го ряда, равно .Время до отказа всей системы равно, очевидно,

сумме времени до отказа этих подсистем, следовательно, отсюда

(6.17)

□ При раздельном резервировании с постоянно включенным резервом (см. рис. 6.10) элементы j -й колонки (J = 1, 2,..., п) образуют параллельное со­единение элементов, поэтому время до отказа подсистемы, составленной из элементов J -й колонки, равно . Так как вся система представляет собой последовательное соединение этих подсистем, то вре­мя до отказа системы равно отсюда

(6.18)

При раздельном резервировании замещением (см. рис. 6.11) время до отка­за подсистемы, образованной элементами j -й колонки (J = 1, 2,..., п), равно сумме времени до отказа элементов, т. е.. Так как вся система представляет собой последовательное соединение этих подсистем, то время до отказа системы равно, отсюда

(6.19)

Пусть Pjj(t) — вероятности безотказной работы элемента с номером (i, j), а fj(t) — плотность распределения времени до отказа этого элемента, i = 0,1, 2,..., т, j - 1, 2,..., и. Вычислим вероятность безотказной работы системы P_c(t) в зависимости от схемы резервирования, используя результаты разд. 6.2 и соотношения (6.16)—(6.19):

□ Oбщее резервирование с постоянно включенным резервом:

(6.20)

□ Общее резервирование замещением:

(6.21)

где

□ Раздельное резервирование с постоянно включенным резервом:

(6.22)

□ Раздельное оезервирование замещением:

(6-23)

Расчет вероятности P_c(f) по формулам (6.20)—(6.23) требует привлечения соответствующих программных средств, особенно при больших значениях m и п. Для наглядности приведем эти соотношения для малых значений пара­метров.

ПРИМЕР 6.3. Для частного случая: m = 1, п = 2 представить формулы вероятности безотказной работы систем при различных видах резервирования че­рез вероятности безотказной работы элементов.

Решение;

□ общее резервирование с постоянно включенным резервом:

□общее резервирование замещением:

□ раздельное резервирование с постоянно включенным резервом:

□ раздельное резервирование замещением:

Каждая из рассмотренных схем резервирования имеет одинаковое количество элементов, по-разному соединенных между собой. Важной задачей при про­ектировании сложных технических систем является определение наиболее надежной системы Сравнение различных видов резервирования по вероят­ности безотказной работы будет проведено в гл. 9, посвященной методам по­вышения надежности.

Методика анализа надежности Hfвосстанавливаемых систем, рассмотренная ранее, позволяет рассчитать показатели надежности системы сложной струк­туры. Задача при этом формулируется так: дана структурная схема системы (схема расчета надежности) и показа^тели надежности ее элементов, необхо­димо рассчитать показатели надежности системы.

Рассмотрим методику на примере.

ПРИМЕР 6.4. Структурная схема системы представлена на рис. 6.12.

Рис. 6.12. Структурная схема сложной системы

Вероятности безотказной работы ее элементов (в некоторый фиксированный момент времени) приведены в табл. 6.1.

Таблица 6.1. Данные о надежности элементов

№ элемента
Вероятность р	0,98	0.96	0,95	0,99	0,94	0,95	0,97

Необходимо вычислить вероятное гь безотказной работы системы Р_с.

Решение. При расчете показателей надежности сложной системы целесооб­разно решение получить в аналитическом виде. Такое решение позволяет легко вычислить показатели надежности системы при любых значениях пока­зателей надежности ее элементов.

Представим нашу систему в виде последовательного соединения ее подсис­тем. Первой подсистемой является совокупность элементов 1, 2, 3, образую­щих резервированную подсистему с неравно надежными элементами. Эле­менты 1, 2 соединены в смысле надежности последовательно, поэтому Тогда вероятность безотказной работы первой подсистемы будет равна

Элементы 5 образуют дублированную систему с резервированием методом замещения. Вероятность ее безотказной работы определяется выражением

Элементы 6 образуют общее резервирование с постоянно включенным резер­вом. Вероятность безотказной работы подсистемы имеет вид:

Элементы 7 образуют подсистему с дробной кратностью резервирования, равной 1/2. Вероятность ее безотказной работы

Считая отказы подсистем событиями независимыми, на основании теоремы умножения вероятностей получим:

или

Подставляя в это выражение значения вероятностей, получим: Р_с = 0,98.

Замечание

В задаче было сделано допущение о постоянстве интенсивности отказов элемента 5.