Функция распределения для вырожденного газа фермионов

Функция распределения для вырожденного газа фермионов (Ферми-Дирака) имеет вид:

(3.30)

где m - это химический потенциал вырожденного газа, который называют уровнем Ферми.

Прежде всего, отметим, что f_Ф(Е) не может быть больше единицы, поскольку числитель выражения (3.30) равен единице, а в знаменателе к единице прибавляется положительная величина - экспонента. Это означает, что в одном квантовом состоянии не может находиться более одной ферми-частицы, что согласуется с принципом Паули. Распределение (3.30) определяет вероятность заполнения энергетического уровня с энергией Е при температуре Т.

Химический потенциал µ для ферми-частиц может быть только положительным, т.е. µ>0.

Из формулы (3.30) следует, что при Е=μ функция распределения ƒ_Ф(E) становится равной ½ при любой температуре ¹ 0. Таким образом, уровень Ферми -это энергетический уровень, вероятность заполнения которого равна 1/2.

Рассмотрим распределение электронов в металле при абсолютном нуле. Металл можно рассматривать для электронов потенциальной ямой, выход из которой требует затраты работы по преодолению сил связи, удерживающих электроны в металле. В соответствии с принципом Паули на каждом уровне могут разместиться 2 электрона с противоположными спинами.

Если электронный газ содержит N электронов, то последним занятым окажется уровень N/2 (рис. 3.5).

Этот уровень является уровнем Ферми для вырожденного электронного газа. Он соответствует максимальной кинетической энергии (Е_ф), которой может обладать электрон в металле при абсолютном нуле (энергия Ферми).

Дно ямы

EФ

µ Уровень Ферми

Нулевой уровень

-

N/2

Рисунок 3.5

Таким образом, при абсолютном нуле все состояния с энергией Е<Е_ф заняты электронами, а при Е>Е_ф – свободны. Следовательно, при Т =0 K вероятность заполнения электронами состояний с Е< Е_ф равна 1, а при Е>Е_ф вероятность заполнения состояний электронами равна 0 (рис.3.6).

fФ(E) =

1 при Е< Еф 0 при Е> Еф

fФ(E)

EФ

E

Рисунок 3.6 - График функции распределения Ферми – Дирака

при абсолютном нуле

Так как при T =0 К, химический потенциал m электронного газа, отсчитанный от дна потенциальной ямы, равен Е_ф, то (3.30) можно переписать в виде:

(3.31)

Умножив ƒ_Ф (Е) на g(Е)dE и учитывая, что в интервале энергий от 0 до Е_ф функция ƒ_Ф(Е)= 1, получим полную функцию распределения Ферми – Дирака при абсолютном нуле

(3.32)

График функции N(E) имеет вид, приведенный на рис 3.7.

N(E)

E

EF

Заполненные уровни

Незаполненные уровни

Рисунок 3.7

Интегрируя (3.32) в пределах от 0 до Е_ф, получим что

(3.33)

Отсюда легко определить энергию Ферми

(3.34)

Зная функцию распределения электронов по энергиям, можно определить среднюю энергию электронов при абсолютном нуле

. (3.35)

Температура, определяемая из выражения T_F= E_Ф/k, где k – постоянная Больцмана, называется температурой Ферми. Ниже этой температуры электронный газ переходит из невырожденного состояния в вырожденное. Температура Ферми столь высока, что ни один металл в конденсированном состоянии не может существовать при такой температуре. Например,
T_F(Cu) =8,2×10⁴ K; T_F(Ag) =6,4×10⁴ K. То есть, электронный газ в металлах при всех практически возможных температурах находится в вырожденном состоянии.

С повышением температуры электроны подвергаются тепловому возбуждению и переходят на более высокие энергетические уровни. Однако, тепловому возбуждению подвергается только часть электронов, отстоящие от ближайших свободных уровней на величину kT, т.е. имевшие энергию меньше Е_ф на kT.

На рисунке 3.8 показана кривая распределения электронов по состояниям при температуре Т >0 °К. Из рисунка видно, что повышение Т вызывает "размытие" распределения на глубину kT и появление «хвоста» распределения, располагающегося правее Е_ф. Чем выше температура, тем более существенному изменению подвергается функция распределения. А сам «хвост» описывается распределением Максвелла.

f(E)

E

Eф

kT

kT

Рисунок 3.8

На рисунке заштрихованные площадки равны, т.к. выражают одно и то же число электронов. При комнатной температуре, когда kT»0,025 эВ, число электронов в «хвосте» меньше 1%, а при Т =1000 K число электронов»1-2%. Поэтому во всем диапазоне температур в котором электронный газ в металле является вырожденным его распределение мало отличается от распределения при абсолютном нуле.

Т.к. вплоть до точки плавления металла kT остается значительно меньше, чем Е_ф, уменьшение m с повышением температуры оказывается настолько малым, что им можно пренебречь и химический потенциал при любой температуре совпадает с Е_ф.

Для вырожденного электронного газа средняя энергия даже при абсолютном нуле имеет большую величину и практически не зависит от температуры (слабо зависят).