Это уравнения вида
, | (1) |
где – константы.
Общее решение такого уравнения имеет вид
где – произвольные постоянные
-общее решение однородного уравнения,
-линейно независимые частные решения уравнения (1).
Определение. Функции и называются линейно независимыми (зависимыми) на (a, b), если при
Решение уравнения (1) сводится к решению алгебраического уравнения
, | (2) |
называемого характеристическим, в котором степень k равна порядку производной в уравнении (1).
При этом возможны следующие случаи:
1. При уравнение (2) имеет действительные различные корни , тогда частные решения ДУ (1) имеют вид , (в чем можно убедится непосредственной подстановкой).
Они линейно независимы (смотри определение). Тогда общее решение (1) имеет вид:
2. При характеристическое уравнение (2) имеет два действительных равных корня , тогда частными решениями Д.У. (1) являются функции , общее решение (1) имеет вид
3. Если , то характеристическое уравнение (2) не имеет действительных корней, но имеет комплексные корни вида .
Тогда частные решения
Общее решение (1) имеет вид
Примеры (см. задание 5):
1) , составим характеристическое уравнение:
; ; .
2) , составим характеристическое уравнение
;
;
.
3)
4)