Основные параметры нормального закона распределения случайных величин

Многократные измерения необходимо проводить в тех случаях, когда имеются случайные погрешности. Эти погрешности следует рассматривать как случайные события по теории вероятностей. Случайными называются события, появление которых невозможно предусмотреть. Случайные события имеют вероятность между 0 и 1. Ноль соответствует невозможному событию, единица – достоверному, которое происходит обязательно.

Случайные величины могут быть как дискретными, так и непрерывными. Дискретные величины – это только целые числа. Например, число годных или бракованных деталей. Непрерывные величины – это любые значения на числовой оси. Например, действительные размеры обрабатываемых деталей.

Случайные величины могут подчиняться одному из следующих законов распределения:

- нормальный закон, описывающий случайные величины, которые имеют место при большом числе одновременно действующих переменных факторов;

- закон равной вероятности, описывающий непрерывные случайные величины, которые достоверно встречаются на некотором интервале от а до b и вероятность наблюдения случайной величины в этом интервале постоянна (движение секундной стрелки часов и отсчет времени);

- закон Максвелла, или закон существенно положительных величин, используемый для определения погрешностей эксцентриситета и формы поверхностей;

- закон треугольника (Симпсона) и другие.

Результаты измерений могут содержать как систематические, так и случайные погрешности. Выясненные систематические погрешности необходимо устранить. Например, проверить годность средства измерений, промыть и очистить контролируемую деталь и т.д.

Свойства случайной величины описываются законом распределения, который устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Функция распределения случайных величин является дифференцируемой функцией, поэтому чаще используют ее первую производную, которую называют плотностью распределения.

Плотность распределения – неотрицательная функция, т.е. кривая распределения всегда лежит выше оси абсцисс (рис.5).

Рис.5. Кривые плотности распределения при разных значениях

и при наличии систематической погрешности

Аксиомы теории вероятностей:

· аксиома случайностей – число положительных событий равно числу отрицательных событий, т.е. площади под кривой распределения справа и слева от оси ординат равны 0,5;

· аксиома распределения – малые по модулю значения случайных событий встречаются чаще, чем большие, т.е. кривая имеет колоколообразную форму и асимптотически приближается к оси абсцисс.

При изучении свойств случайной величины используют их числовые характеристики, которые выражают наиболее существенные особенности распределения. Центр группирования случайной величины оценивается следующими характеристиками:

- математическое ожидание – это среднее значение случайной величины; т.е. среднее арифметическое значение, обозначаемое . Среднее арифметическое значение определяется суммированием всех результатов наблюдений и делением этой суммы на число выполненных наблюдений. Эта величина наибольшим образом приближается к истинному значению:

; (5)

- мода случайной величины – это такое значение случайной величины, в котором плотность вероятности имеет максимальное значение, это значение наиболее часто встречается в рассматриваемом статистическом ряду;

- медиана (центр симметрии) случайной величины – это такое значение случайной величины, которое делит площадь под кривой распределения на равновеликие участки, медиана занимает среднее значение в статистическом ряду. При нечетном числе измерений медианой будет среднее значение, а при четном числе измерений медиана определяется как полусумма двух значений, расположенных в середине ряда.

Для нормального закона часто среднее арифметическое значение совпадает с математическим ожиданием, модой и медианой случайной величины (рис.5).

Мерой рассеивания случайных величин выступают:

· дисперсия , она характеризует рассеивание случайной величины относительно ее математического ожидания;

· среднее квадратичное отклонение (СКО) случайной величины - , мкм; СКО имеет такую же размерность, как исследуемая случайная величина:

, (6)

где - абсолютная погрешность i -го результата (отклонение от среднего значения).

Чтобы перейти от учета индивидуальных признаков случайных событий к универсальному выражению, пользуются нормированным отклонением t и функцией Лапласа (функция нормального распределения):

, (7)

где e =2,718 - основание натуральных логарифмов, t – нормированное отклонение, безразмерный коэффициент, равный

, (8)

где ε - доверительный интервал для случайных величин от –t до +t, который оценивается по формуле:

. (9)

Форма кривой нормального распределения (рис.5) зависит от значения среднего квадратичного отклонения .

При малых значениях кривая идет более круто и имеет большее значение по оси ординат. При больших значениях кривая вытягивается вдоль оси абсцисс. При этом площади под кривыми с разными значениями одинаковые.

При изменении центра группирования кривая распределения будет смещаться вдоль оси абсцисс, не изменяя своей формы, так как действует систематическая погрешность.

Вся площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна 1. Вероятность того, что значение дискретной случайной величины принадлежит некоторому интервалу от до , определяется как разность значений функции распределения на границах этого интервала, т.е. равна площади под кривой распределения, опирающейся на этот интервал.

Следует вывод: чем больше доверительный интервал, тем больше доверительная вероятность.

Характерные точки для интервалов:

- интервал в имеет вероятность Р=0,68;

- интервал в - вероятность Р=0,95;

- интервал в - вероятность Р=0,997.

Для практических целей часто используют интервал в 6 ,т.е. допуск на изготовление должен соответствовать интервалу в 6 σ (рис.6).

Рис.6. Зависимость доверительной вероятности от доверительного интервала

Числовые значения функции Лапласа (вероятности) для некоторых значений нормированного отклонения представлены в таблице учебного пособия [4]. Число измерений n влияет на вероятность результата. При числе измерений n< 20расчеты по нормальному закону могут дать большую погрешность. В этом случае рекомендуется использовать закон Стьюдента (псевдоним английского математика и химика В.С. Госсета).

Для оценки случайных событий практически часто применяют закон Стьюдента. Значения доверительной вероятности при разных значениях коэффициента Стьюдента и числа измерения n даны в табл.1.Часто требуется найти t_s по известным и n (табл.2).

По закону Стьюдента значение (10)

Табл.1. Значения доверительной вероятности для различных значений и числа измерений n (распределение Стьюдента)

	2,5		3,5

0,705	0,758	0,795	0,823
0,816	0,870	0,905	0,928
0,861	0,912	0,942	0,961
0,884	0,933	0,960	0,975
0,898	0,946	0,970	0,983
0,908	0,953	0,976	0,987
0,914	0,959	0,980	0,990
0,919	0,963	0,983	0,992
0,923	0,966	0,985	0,993
0,927	0,969	0,987	0,994
0,929	0,970	0,988	0,995
0,931	0,972	0,989	0,996
0,933	0,974	0,990	0,996
0,935	0,974	0,990	0,996
0,936	0,975	0,991	0,997
0,937	0,976	0,992	0,997
0,938	0,977	0,992	0,997

Табл. 2. Коэффициент Стьюдента для различных значений доверительной вероятности и числа n

	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99	0,999
n
	1,000	1,376	1,963	3,08	6,31	12,71	31,8	63,7	63,7
	0,816	1,061	1,336	1,886	2,92	4,30	6,96	9,92	31,6
	0,765	0,978	1,250	1,638	2,35	3,18	4,54	5,84	12,94
	0,741	0,941	1,190	1,533	2,13	2,77	3,75	4,60	8,61
	0,727	0,920	1,156	1,476	2,02	2,57	3,36	4,03	6,86
	0,718	0,906	1,134	1,440	1,943	2,45	3,14	4,71	5,96
	0,711	0,896	1,119	1,415	1,895	2,36	3,00	3,5	5,40
	0,706	0,889	1,108	1,397	1,860	2,31	2,90	3,36	5,04
	0,703	0,883	1,110	1,383	1,833	2,26	2,82	3,25	4,78
	0,700	0,879	1,093	1,372	1,812	2,23	2,76	3,17	4,59
	0,697	0,876	1,088	1,363	1,796	2,20	2,72	3,11	4,49
	0,695	0,873	1,083	1,356	1,782	2,18	2,68	3,06	4,32
	0,694	0,870	1,079	1,350	1,771	2,16	2,65	3,01	4,22
	0,692	0,868	1,076	1,345	1,761	2,14	2,62	2,98	4,14
	0,691	0,866	1,074	1,341	1,753	2,13	2,60	2,95	4,07
	0,690	0,865	1,071	1,337	1,746	2,12	2,58	2,92	4,02
	0,689	0,863	1,069	1,333	1,740	2,11	2,57	2,90	3,96
	0,688	0,862	1,067	1,330	1,734	2,10	2,55	2,88	3,92
	0,688	0,861	1,066	1,328	1,729	2,09	2,54	2,86	3,88
	0,674	0,842	1,036	1,282	1,645	1,96	2,53	2,58	3,29

Случайные факторы (погрешности) оцениваются двумя числами:

- доверительной вероятностью (степенью надежности) ;

- доверительным интервалом .

Доверительный интервал для закона Стьюдента определяется по следующей формуле:

. (11)

Следовательно, , (12)

т.е. это безразмерный коэффициент Стьюдента.

Интервал для среднего арифметического значения определяется с учетом среднего квадратического отклонения среднего арифметического по формуле (13) или (14):

; (13)

. (14)

Погрешность среднего арифметического в несколько раз меньше погрешности каждого результата и интервал для него определяется по следующим зависимостям:

- для нормального закона ; (15)