Понятие функции нескольких переменных

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Примеры функций нескольких переменных:

1. Площадь прямоугольника является функцией двух независимых переменных – сторон прямоугольника и : .

2. Объем прямоугольного параллелепипеда является функцией трех независимых переменных : , где – ребра.

3. Работа электрического тока на участке цепи зависит от разности потенциалов на концах участка, силы тока и времени : .

Рассмотрим на плоскости некоторое множество точек .

Опр. Величина называется функцией двух переменных величин и на множестве , если каждой точке этого множества соответствует одно определенное значение величины .

Множество называется областью определения, а множество – областью значений функции .

Пример. Найти область определения и область значений функций: 1) ; 2) .

1) , .

2) , .

Графиком функции двух переменных является некоторая поверхность в пространстве ℝ .

Функцию двух переменных можно задать аналитически, таблицей, графически.

Опр. Величина называется функцией переменных величин , если каждой рассматриваемой совокупности этих величин соответствует одно определенное значение величины : .

Опр. Линией уровня функции называется линия на плоскости , в точках которой функция сохраняет постоянное значение.

Опр. Сетью линий уровня функции называется совокупность линий уровня, соответствующих различным .

Пример.

Для функции , графиком которой является параболоид вращения, равномерной сетью линий уровня служит система концентрических окружностей с центром в точке и сама эта точка.