Частные производные первого порядка функций нескольких переменных

Пусть в некоторой области задана функция двух переменных . Возьмем произвольную точку этой области и дадим х приращение , а значение оставим неизменным. При этом функция получит частное приращение по : .

Опр. Частной производной функции по переменной в точке называется предел (если он существует) отношения соответствующего частного приращения к вызвавшему его приращению при : .

Обозначение: .

Аналогично вводится понятие частного приращения функции по : , а частная производная функции по переменной в точке определяется как предел (если он существует) отношения соответствующего частного приращения к вызвавшему его приращению при : .

Обозначение: .

Частные производные вычисляются по формулам и правилам дифференцирования функции одной переменной, при этом все независимые переменные, кроме той, по которой ведется дифференцирование, следует считать постоянными. Однако переменные считаются константами только в процессе дифференцирования, а сами частные производные также являются функциями нескольких переменных.

Пример. Вычислить частные производные функций: 1) ; 2) .

1) При вычислении считаем : , при вычислении считаем : .

2) При вычислении считаем : , при вычислении считаем : .

Абсолютная величина частной производной или дает величину скорости, с которой происходит изменение функции при изменении только или только , а знак частной производной или указывает на характер этого изменения (возрастание или убывание).

Аналогично определяются частные производные от функций любого числа независимых переменных. Пусть – функция независимых переменных величин , тогда частная производная функции по переменной находится по формуле:

.

Частные дифференциалы и полный дифференциал

функций нескольких переменных.

Дифференцируемость функций нескольких переменных

Опр. Частным дифференциалом по функции называется главная часть частного приращения , пропорциональная приращению независимой переменной : .

Аналогично: . Таким образом, частный дифференциал функции двух переменных равен произведению соответствующей частной производной на дифференциал этой переменной.

Для функции нескольких независимых переменных ее частный дифференциал по какой-нибудь из переменных равен произведению соответствующей частной производной на дифференциал этой переменной. Если – функция независимых переменных величин , тогда ее частный дифференциал по переменной находится по формуле: .

Пусть функция определена в окрестности точки .

Опр. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде:

,

где и – бесконечно малые функции при .

При этом слагаемое , линейное относительно и , называется главной частью приращения функции.

Теоремы (необходимые условия дифференцируемости).

Т1. Если функция , определенная в окрестности точки , дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Т2. Если функция , определенная в окрестности точки , дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке частные производные и .

На основании Т2 можно представить в виде:

.

Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если в некоторой окрестности точки существуют частные производные и функции и они непрерывны в самой точке , то функция дифференцируема в этой точке.

Опр. Полным дифференциалом функции называется главная часть полного приращения , линейная относительно приращений аргументов и , т.е. или .

Если и независимые переменные, то , , и выражение для полного дифференциала окончательно примет вид: .

Последняя форма записи полного дифференциала сохраняет свой вид и в том случае, когда и – зависимые переменные. Это свойство называется инвариантностью формы полного дифференциала.

Нетрудно видеть, что полный дифференциал функции двух переменных равен сумме ее частных дифференциалов: .

Полный дифференциал функции независимых переменных равен сумме произведений соответствующих частных производных на дифференциалы этих переменных: .