Дифференцирование неявной функции

Рассмотрим уравнение с тремя переменными , и предположим, что оно определяет в некоторой области плоскости неявную функцию , так что имеет место тождество .

Теорема (существования неявной функции). Пусть функция непрерывна вместе со своими частными производными в некоторой окрестности точки . Если , а , то существует окрестность точки , в которой уравнение определяет как однозначную непрерывную и имеющую непрерывные частные производные функцию от и , такую что .

Замечание. Если в точке производная , а, например, , то уравнение может не определять как функцию от и , но определяет как функцию от и .

Частные производные такой функции вычисляются по формулам:

, при .

Если уравнение определяет как некоторую функцию от независимых переменных величин , то ее частные производные по переменным находятся по формулам: .

Пример. Найти частные производные функции , заданной неявно: .

. Найдем частные производные функции : , тогда

, .