2015-02-24
743
Непрерывную случайную величину, также как и дискретную, можно задать при помощи функции распределения
.
Рис. 4.
Функция распределения непрерывной случайной величины есть непрерывная функция.
Непрерывная случайная величина также может быть задана при помощи функции, называемой плотностью распределения (или плотностью вероятности)
Рис. 5.
Функция распределения и плотность вероятности связаны между собой соотношениями
,
.
Свойства плотности вероятности:
1. Плотность вероятности есть неотрицательная функция 
.
2. Плотность вероятности удовлетворяет условию нормировки 
.
Свойства функции распределения:
- Функция распределения непрерывна слева.
- Функция распределения – неубывающая функция на всей области определения.
-
, 
. - Для любых
и 
выполнено равенство 
. - Функция распределения непрерывной случайной величины есть непрерывная дифференцируемая функция.
- Функция распределения дискретной случайной величины является кусочно-непрерывной и имеет конечное или счетное число скачков.
- Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна нулю.
Пример 6. Случайная величина 
подчинена закону распределения с плотностью
|
|
|
.
Требуется найти: 1) параметр С; 2) функцию распределения; 3) вероятность попадания случайной величины в интервал (1;2).
Решение. 1) Для нахождения параметра С используем условие нормировки
.
Поскольку плотность вероятности отлична от нуля только на отрезке [0;3], то интеграл по всему промежутку 
превращается в интеграл
.
Отсюда 
.
2) Функция распределения случайной величины вычисляется как интеграл с переменным верхним пределом от плотности вероятности. Поскольку плотность вероятности является кусочно-непрерывной функцией, то интеграл с переменным верхним пределом вычисляется на каждом из промежутков 
, (0;3), 
.
При 
получаем
.
При 
получаем интеграл
.
И, наконец, при 
получаем
.
Таким образом, функция распределения равна
3) Вероятность попадания случайной величины в интервал (1;2) вычисляется по формуле
.
