Перевод чисел в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления

Для перевода восьмеричного числа в двоичную систему счисления необходимо каждую цифру исходного восьмеричного числа заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

Пример. Перевести восьмеричное число в двоичную систему счисления.

Решение.

Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичную систему счисления необходимо каждую цифру исходного шестнадцатеричного числа заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

Пример. Перевести шестнадцатеричное число в двоичную систему счисления.

Решение.

Для перевода двоичного числа в восьмеричную систему счисления исходное двоичное число необходимо разбить на триады, а затем каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой.

При выделении триад для целой части числа триады берутся, начиная с младшего разряда, а для дробной, начиная со старшего разряда. В случае необходимости старшая триада целой части дополняются незначащими нулями слева, а младшая триада дробной части − справа.

Пример. Перевести двоичное число в восьмеричную систему счисления.

Решение.

Для перевода двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления исходное двоичное число необходимо разбить на тетрады, а затем каждую тетраду заменить соответствующей шестнадцатеричной цифрой.

При выделении тетрад для целой части числа тетрады берутся аналогично тому, как формируются триады при переводе чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную.

Пример.Перевести двоичное число в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение.

Для перевода восьмеричного числа в шестнадцатеричную систему счисления и обратно, необходим промежуточный перевод числа в двоичную систему .

Пример. Перевести восьмеричное число в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение.

Пример. Перевести шестнадцатеричное число в восьмеричную систему счисления.

Решение.

Вещественное число может быть представлено в двух следующих форматах:

- с фиксированной точкой;

- c плавающей точкой.

Формат представления действительного числа с плавающей точкой проиллюстрирован на рисунке 1.

Рисунок 1 – Представление числа в формате с плавающей запятой

В компьютерной арифметике используются следующие коды для представления двоичных чисел с фиксированной точкой:

- прямой код;

- обратный код;

- дополнительный код.

Прямой код двоичного числа совпадает с записью самого числа. Чаще всего прямой код используется для записи беззнаковых (неотрицательных) чисел. Если же прямой код применяется для представления знаковых чисел (то есть как положительных, так и отрицательных чисел), то в дополнение к цифровым разрядам числа вводится еще и старший знаковый разряд (старший бит) (рис. *). Если значение знакового разряда равно 0 - то число положительное, если 1 - отрицательное. В цифровых разрядах записывается двоичное представление модуля числа.

Рисунок 2 - Представление в компьютерной арифметике знакового числа

Пример.

десятичное[КОА1] число	код представления двоичного числа
прямой
-9

естественной форме (“с фиксированной точкой”) и нормализованной форме (“с плавающей точкой”).

В естественной форме число состоит из целой и дробной частей, между которыми помещается разделитель (запятая или точка). Например, 710,78. Такая запись неудобна для слишком больших или слишком малых чисел. Кроме того, использование такой формы в компьютере вызвало бы снижение точности вычислений и привело бы к снижению точности вычислений из-за необходимости приведения в соответствие разрядов обрабатываемых чисел и связанных с этим округлений или могло бы породить ситуацию, называемую переполнением, когда старший разряд числа не умещается в отведенной разрядной сетке.

Вещественные числа в компьютере представляются в нормализованной форме. Главным достоинством такого представления является автоматическое масштабирование числа при каждом этапе обработке, что, с одной стороны, обеспечивает максимально возможную точность вычислений, а с другой – в большинстве случаев избавляет от необходимости принимать меры по предотвращению переполнения. Формат числа с плавающей точкой имеет вид:

(1)

где - мантисса нормализованного числа - число, представляющее значение вещественного числа без учета порядка, значение мантиссы лежит в интервале (то есть первая значащая цифра мантиссы всегда ненулевая);

- основание системы счисления;

- порядок (экспонента числа) - целое число, выражающее степень основания числа, на которое умножается мантисса; - характеристика числа.

Представление числа в нормализованной форме позволяет произвести его разделение на отдельные составляющие: знак числа , мантиссу , знак порядка , порядок , что позволяет удобно хранить и обрабатывать числа в компьютере.

Формат записи (1) называется также формой записи числа с порядком основания системы счисления или нормализованной экспоненциальной записью.

В компьютерных программах при записи чисел в десятичной системе счисления экспоненциальная запись имеет вид:

(2)

где - мантисса, - буква “Е”, заменяющая выражение “умножить на десять в степени …”).

В программировании при записи неотрицательного порядка числа применяется символ “+”, также используются ведущие нули, а в качестве десятичного разделителя не запятая, а точка. Корме того для улучшения читаемость программного кода иногда прописную букву заменяют строчной .