Расчет тонких пластин на упругом основании

Тонкой пластинкой принято называть упругое тело призматической или цилиндрической формы с малой по сравнению с ее генеральными размерами толщиной. Отношение толщины пластинки к ее любому другому размеру должно быть не более 1/10, а ожидаемые прогибы не превышать 1/5 ее толщины (рис.3).

Плоскость, параллельная поверхности пластинки и разделяющая ее толщину пополам, называется срединной плоскостью. В теории тонких пластин приняты следующие две гипотезы.

Гипотеза прямолинейного элемента. Совокупность точек, лежащих до деформации пластинки на какой-либо прямой, нормальной к срединной поверхности, остается на прямой, нормальной к упругой поверхности деформируемой пластинки.

Статическая гипотеза. Давление слоев пластинки, параллельных ее срединной поверхности не учитывается.

Отметим, что эти гипотезы аналогичны гипотезам, принимаемым в курсе сопротивления материалов для балок – гипотеза плоских сечений и гипотеза об отсутствии давлений между слоями балки.

Координатные оси в плоскости срединной поверхности обозначаются буквами X и Y, а перемещения по их направлениям u и v. Ось, перпендикулярная к срединной поверхности пластинки обозначена буквой Z, а перемещения по ее направлению (прогиб) буквой w.

При расчете пластинки разрешающей функцией является функция, описывающая прогиб пластинки W(x,y). Эта функция должна удовлетворять уравнению Софи Жермен и граничным условиям по краям пластинки.

Различают три основных модели грунтового основания: модель Фусса-Винклера, модель в виде упругого полупространства и упругого слоя конечной толщины. Учитывая большую площадь опирания пластинки, используется модель Фусса-Винклера, которая отличается двумя признаками – осадка основания прямо пропорциональна нагрузке и осадка происходит только под нагрузкой. В этом случае для прямоугольной пластинки на упругом основании уравнение Софи Жермен имеет следующий вид

, (12)

где – цилиндрическая жесткость пластинки; – нагрузка и реактивное давление со стороны упругого основания, приложенные к пластинке.

Различают три вида закрепления пластинки: защемление, шарнирное закрепление и случай, когда край пластинки свободен. Рассмотрим граничные условия для всех трех случаев закрепления левого края пластинки x =0 (рис. 3).

Если край пластинки защемлен, то прогиб и угол поворота сечения равны нулю.

(13)

При шарнирном опирании края пластинки ставится условие

. (14)

Для свободного края пластинки условия имеют вид

(15)

Если пластинка опирается на упругое основание, то контур пластинки свободен и условия на краях пластинки выражаются формулами (15).

В поперечном сечении пластинки появляется пять внутренних сил: изгибающие моменты M_x, M_y, крутящий момент M_xy и поперечные силы Q_zx, Q_zy. Изгибающие моменты M_x и M_y вызывают в поперечных сечениях пластинки нормальные напряжения s _x и s _y, а скручивающий момент M_xy касательные напряжения t _xy, направленные параллельно срединной плоскости (рис. 5)

, (16)

где M_x, M_y, M_xy – изгибающие и крутящий моменты, приходящиеся на единицу ширины сечения;

z – расстояние от срединной поверхности пластинки до точки, в которой вычисляются напряжения;

J – момент инерции части сечения пластинки с шириной равной единице.

Поперечные силы Q_zx и Q_zy вызывают касательные напряжения, действующие в сечениях с нормалями, соответственно, X и Y (рис. 6).

(17)

где S_x и S_y – статические моменты относительно осей X и Y части площади сечения пластинки с шириной равной единице, расположенной выше точки, в которой вычисляется касательное напряжение;

Q_zx и Q_zy – поперечные силы, приходящиеся на ширину сечения, равную единице.

Кроме указанных выше напряжений в пластинке появляются нормальные напряжения s _z от местной нагрузки, приложенной к ее верхней поверхности (рис. 7). Учитывая, что напряжение s _z изменяется по закону кубической параболы, его значение можно вычислить по формуле (18)

(18)

где p – интенсивность местной нагрузки;

h – толщина пластинки;

z – удаленность точки, в которой вычисляется напряжение, от срединной поверхности пластинки.

На нижнюю поверхность пластинки действует еще и реактивное давление со стороны основания, которое также вызывает напряжения. Эти напряжения могут быть вычислены по формуле (18), если ось Z направить вниз (рис. 7). Таким образом, формулы (16), (17) и (18) позволяют установить все напряжения в окрестности любой точки пластинки.

Л и т е р а т у р а: [1, §6.13], [2, VIII §1-7, §10], [3, §15.01-15.05, §15.08], [4, §3.2.1-3.2.7], [6, §4.1-4.3].